1990-上海卷-06 填-单位根的和

本题导读

本题考查复数的代数运算（乘方），以及复数的三角形式与欧拉公式。

📌【题干】

Question

（1990年上海卷） 设复数 $z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$，则 $z^3$ 的值是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别特殊数值：观察发现复数 $z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$ 的实部与虚部刚好对应特殊角 $60^{\circ }$（即 $\frac{\pi }{3}$）的余弦值与正弦值。
2. 选择解题策略：
   • 策略一（代数法）：直接对 $z$ 先平方再立方，或者直接用完全立方公式展开。
   • 策略二（几何法/棣莫弗定理）：将 $z$ 化为三角形式 $z=\cos \frac{\pi }{3}+\text{i}\sin \frac{\pi }{3}$，利用棣莫弗定理 $(r(\cos \theta +\text{i}\sin \theta ){)}^n=r^n(\cos n\theta +\text{i}\sin n\theta )$ 直接写出结果。
   • 策略三（性质法）：利用 $z$ 是方程 $x^3+1=0$ 的根（或 $x^2-x+1=0$ 的根），直接转化。

✅【答案】

Success

$0$

✍【详细解析】

Abstract

解法一（棣莫弗定理 - 最优解）： 将复数 $z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$ 化为三角形式： $z=\cos \frac{\pi }{3}+\text{i}\sin \frac{\pi }{3}$

根据棣莫弗定理，将角度直接乘以幂次 3： $z^3={\left(\cos \frac{\pi }{3}+\text{i}\sin \frac{\pi }{3}\right)}^3=\cos \left(3\times \frac{\pi }{3}\right)+\text{i}\sin \left(3\times \frac{\pi }{3}\right)$ $z^3=\cos \pi +\text{i}\sin \pi$

由于 $\cos \pi =-1$，$\sin \pi =0$，代入得： $z^3=-1+0\text{i}=-1$

解法二（构造方程法）： 由 $z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$ 移项变形得： $2z-1=\sqrt{3}\text{i}$ 两边平方以消去虚数单位 $\text{i}$： $(2z-1{)}^2=(\sqrt{3}\text{i}{)}^2⟹4z^2-4z+1=-3$ $4z^2-4z+4=0⟹z^2-z+1=0$

在方程两边同时乘以 $(z+1)$，利用立方和公式化简： $(z+1)(z^2-z+1)=0⟹z^3+1=0$ 由此直接得出： $z^3=-1$

填空答案为：$-1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数三角形式的转换，棣莫弗定理的幂运算规则，虚数单位 $\text{i}$ 的周期性高阶指数运算。
2. 核心方法：
   • 棣莫弗定理几何法：对于包含 $\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}$ 等特殊系数的复数求高次幂，化为三角函数形式或指数形式（欧拉公式 $e^{\text{i}\theta }$）进行模长与辐角运算，是最不容易出错的通用捷径。
3. 避坑指南：
   • 直接暴力展开易丢负号：如果使用完全立方公式 $(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$ 强行展开，需格外小心 ${\text{i}}^2=-1$ 和 ${\text{i}}^3=-\text{i}$ 的符号替换，多项式项数较多时容易因计算粗心漏掉负号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于复数章节的经典常考题，源自高一数学中对“三次单位根（Roots of unity）”概念的拓展。本题中的 $z$ 与其共轭复数 $\bar{z}$ 实际上是方程 $x^3=-1$ 的两个虚数根。
2. 结论推广：在复数域内，三次单位根 $\omega =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$ 具有优秀的代数性质： ${\omega }^3=1$ 且 ${\omega }^2+\omega +1=0$。 本题中的 $z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}=-{\omega }^2$。 推广至更一般的情形，对于任意满足 $z^2-z+1=0$ 的复数，其必有周期性规律 $z^3=-1$，$z^6=1$，这一特征在现代信号处理的离散傅里叶变换（DFT）及旋转矩阵算子中被作为基本对称元广泛使用。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1992-上海-05 填-复数的乘方
• 1991-全国卷理-22 解-复数的模与辐角主值
• 1992-三南-01 单-复数辐角主值