1988-全国卷理-23 解-对数式大小比较

本题导读

本题考查对数的运算性质、对数函数的单调性。核心在于作差比较法、属性归纳性质法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1988年全国卷(理)）设 $a > 0$ ， $a \neq = 1$ ， $t > 0$ ，比较 $\frac{1}{2} lo g_{a} t$ 与 $lo g_{a} \frac{t + 1}{2}$ 的大小，并证明你的结论.

🔍【思路分析】

破题导航

对数式变形： 将 $\frac{1}{2} lo g_{a} t$ 变形为 $lo g_{a} t$ ，使两个对数式具有相同的底数 $a$ 。

比较真数大小： 比较 $t$ 与 $\frac{t + 1}{2}$ 的大小。由算术-几何平均不等式（基本不等式）可知，对于 $t > 0$ ，恒有 $\frac{t + 1}{2} \geq t$ ，当且仅当 $t = 1$ 时等号成立。

分步讨论单调性： - 当 $a > 1$ 时，对数函数 $y = lo g_{a} x$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增；

当 $0 < a < 1$ 时，对数函数 $y = lo g_{a} x$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递减。据此分别得出大小关系。

✅【答案】

Success

当 $t = 1$ 时两者相等；当 $t \neq = 1$ 时，若 $0 < a < 1$ ，则 $\frac{1}{2} lo g_{a} t > lo g_{a} \frac{t + 1}{2}$ ；若 $a > 1$ ，则 $\frac{1}{2} lo g_{a} t < lo g_{a} \frac{t + 1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

结论：

当 $t = 1$ 时， $\frac{1}{2} lo g_{a} t = lo g_{a} \frac{t + 1}{2}$ ；

当 $t \neq = 1$ 且 $a > 1$ 时， $\frac{1}{2} lo g_{a} t < lo g_{a} \frac{t + 1}{2}$ ；

当 $t \neq = 1$ 且 $0 < a < 1$ 时， $\frac{1}{2} lo g_{a} t > lo g_{a} \frac{t + 1}{2}$ 。

证明如下：

将第一个对数式变形： $\frac{1}{2} lo g_{a} t = lo g_{a} t^{\frac{1}{2}} = lo g_{a} t$

考虑比较两个对数式的真数 $t$ 与 $\frac{t + 1}{2}$ 。作差： $\frac{t + 1}{2} - t = \frac{t - 2 t + 1}{2} = \frac{( t - 1 ) ^{2}}{2}$

因为 $t > 0$ ，所以 $(t - 1)^{2} \geq 0$ ，由此可得： $\frac{t + 1}{2} \geq t$ 当且仅当 $t = 1$ 即 $t = 1$ 时，等号成立。

下面对底数 $a$ 的取值范围进行分类讨论：

当 $t = 1$ 时： 真数相等，即 $t = \frac{t + 1}{2} = 1$ ，此时： $\frac{1}{2} lo g_{a} 1 = lo g_{a} 1 = 0$ 两式相等。

当 $t \neq = 1$ 时，有 $\frac{t + 1}{2} > t$ ：

若 $a > 1$ ，对数函数 $y = lo g_{a} x$ 在 $(0, + \infty)$ 上是严格单调递增函数，所以： $lo g_{a} \frac{t + 1}{2} > lo g_{a} t ⟹ lo g_{a} \frac{t + 1}{2} > \frac{1}{2} lo g_{a} t$

若 $0 < a < 1$ ，对数函数 $y = lo g_{a} x$ 在 $(0, + \infty)$ 上是严格单调递减函数，所以： $lo g_{a} \frac{t + 1}{2} < lo g_{a} t ⟹ lo g_{a} \frac{t + 1}{2} < \frac{1}{2} lo g_{a} t$

综上所述，结论成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点： 对数函数的性质与运算性质，分类讨论思想，基本不等式的应用。

核心方法： * 同底化法： 比较对数式大小时，必须优先通过对数恒等式将其化为同底数形式。

性质判定法： 将对数式的大小比较转化为真数的大小比较，再利用底数决定的单调性完成最终判定。

避坑指南： * 漏掉底数分类讨论： 对数函数的单调性完全取决于底数 $a$ 与 1 的大小关系，直接断言大或小而未对 $a > 1$ 与 $0 < a < 1$ 进行分类属于原则性失误。

漏掉等号成立条件： 当 $t = 1$ 时两式相等，若在讨论中忽略了 $t = 1$ 的特殊情况，会导致结论不完整。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源： 本题属于典型的代数不等式与基本初等函数结合的题目，其理论背景为微积分中的琴生不等式（Jensen’s Inequality）。

结论推广： 由于 $f (x) = lo g_{a} x$ 的凹凸性由底数 $a$ 决定：

当 $a > 1$ 时， $f (x) = lo g_{a} x$ 的导数单调递减，其图象为凸函数（上凸），满足 $f (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}) \geq \frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2}$ 。本题中，若令 $x_{1} = t, x_{2} = 1$ ，则： $lo g_{a} (\frac{t + 1}{2}) \geq \frac{l o g _{a} t + l o g _{a} 1}{2} = \frac{1}{2} lo g_{a} t$ 这完美解释了本题结论的数学本质。当 $0 < a < 1$ 时，对数图象变为凹函数（下凸），不等式方向则完全相反。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

1995-上海文-07 单-指数式的大小比较

1996-上海文-07 单-对数比较大小

1994-上海-12 单-指数不等式的比较

∑ ( Math )

Explorer

1988-全国卷理-23 解-对数式大小比较

📌【题干】

🔍【思路分析】

✅【答案】

✍【详细解析】

💡【考点归纳与避坑指南】

📖【试题探源与推广】

🔗【关联脉络】

Backlinks