1988-全国卷理-20 填-等比数列与极限

本题导读

本题考查等比数列的前 $n$ 项和，以及数列极限的计算。

📌【题干】

Question

（1988年全国卷(理)）已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比 $q > 1$ ，并且 $a_{1} = b$ ( $b \neq = 0$ ).求 $lim_{n \to \infty} \frac{a _{1} + a _{2} + a _{3} + \dots + a _{n}}{a _{6} + a _{7} + a _{8} + \dots + a _{n}}$ .

🔍【思路分析】

破题导航

分子分母分别求和： 记分子为 $S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ ，分母为 $T_{n} = a_{6} + a_{7} + \dots + a_{n}$ 。利用等比数列求和公式分别写出它们的表达式。注意分母是从第 6 项开始到第 $n$ 项，项数为 $n - 5$ 。

化简分式结构： 将 $S_{n}$ 和 $T_{n}$ 代入极限式中，约去公共常数项（如 $b$ 和 $1 - q$ ），将分式整理为含有 $q^{n}$ 的形式。

求极限： 因为 $q > 1$ ，当 $n \to \infty$ 时 $q^{n} \to \infty$ 。分子分母同时除以最高次项 $q^{n}$ （或变形处理），利用 $lim_{n \to \infty} \frac{1}{q ^{n}} = 0$ 求得最终结果。

✅【答案】

Success

$1$

✍【详细解析】

Abstract

设等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ 。分子为： $S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = \frac{b ( 1 - q ^{n} )}{1 - q}$

分母为从第 6 项到第 $n$ 项的和（其中 $n \geq 6$ ），其首项为 $a_{6} = b q^{5}$ ，项数为 $n - 5$ ： $T_{n} = a_{6} + a_{7} + \dots + a_{n} = \frac{a _{6} ( 1 - q ^{n - 5} )}{1 - q} = \frac{b q ^{5} ( 1 - q ^{n - 5} )}{1 - q} = \frac{b ( q ^{5} - q ^{n} )}{1 - q}$

将其代入待求的极限式中： $lim_{n \to \infty} \frac{a _{1} + a _{2} + a _{3} + \dots + a _{n}}{a _{6} + a _{7} + a _{8} + \dots + a _{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{b ( 1 - q ^{n} )}{1 - q}}{\frac{b ( q ^{5} - q ^{n} )}{1 - q}}$

由于 $b \neq = 0$ 且 $q > 1$ ，约去公共部分 $\frac{b}{1 - q}$ 得： $lim_{n \to \infty} \frac{1 - q ^{n}}{q ^{5} - q ^{n}}$

分子与分母同时除以 $q^{n}$ ： $lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{q ^{n}} - 1}{\frac{q ^{5}}{q ^{n}} - 1}$

因为 $q > 1$ ，所以当 $n \to \infty$ 时， $lim_{n \to \infty} \frac{1}{q ^{n}} = 0$ 且 $lim_{n \to \infty} \frac{q ^{5}}{q ^{n}} = 0$ 。因此： $lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{q ^{n}} - 1}{\frac{q ^{5}}{q ^{n}} - 1} = \frac{0 - 1}{0 - 1} = 1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点： 等比数列求和公式的分段应用；无穷大比无穷大（ $\frac{\infty}{\infty}$ ）型指数极限的计算。

核心方法： * 首项项数锁定法： 准确识别出分母等比数列的首项为 $a_{6}$ 、项数为 $n - 5$ 是正确列式的关键。

抓大头法（最高次项法）： 在求 $n \to \infty$ 的指数分式极限时，分子分母的决定性项均为 $- q^{n}$ ，直接提取或同除即可。

避坑指南： * 错误计算分母的项数。常有学生误认为分母项数为 $n - 6$ ，导致列式为 $q^{n - 6}$ 从而引发后续化简错误。

忽视 $q > 1$ 的条件。只有当 $q > 1$ 时 $q^{n}$ 才趋于无穷大，才能使用同除法；若 $0 < q < 1$ ，则 $q^{n} \to 0$ ，极限结果将完全不同。本题必须紧扣 $q > 1$ 进行极限推导。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源： 本题将高中的“数列求和”与微积分初期的“极限思想”进行了有机结合，考查了学生处理超越式极限的能力，是典型的大学高等数学**数列极限（ $ε - N$ 语言背景下的基本计算）**过渡题。

结论推广： 设等比数列 ${a_{n}}$ 的公比 $q > 1$ ，对于任意给定的正整数项数 $k$ 和 $m$ ( $k < m$ )，若求其后续无穷项截段的比值极限，有如下普遍规律： $lim_{n \to \infty} \frac{a _{k} + a _{k + 1} + \dots + a _{n}}{a _{m} + a _{m + 1} + \dots + a _{n}} = 1$ 这表明当公比 $q > 1$ 时，等比数列在 $n \to \infty$ 时的爆炸式增长导致其前有限项的累加差（即 $a_{1} + \dots + a_{5}$ 的部分）在整体无穷和中占据的分量趋于 0，整体极限值恒为 1。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

1990-广东文-28 填-等比数列与数列极限

1992-三南-21 填-裂项相消与数列极限

1989-上海-09 填-数列极限的计算

∑ ( Math )

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