1988-全国卷理-04 单-双曲线的焦距

本题导读

本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线几何性质（焦距）。

📌【题干】

Question

（1988年全国卷(理)） 已知双曲线方程 $\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{5}=1$，那么它的焦距是 ()

A. $10$　　　　　　　　　B. $5$　　　　　　　　　C. $\sqrt{15}$　　　　　　　　　D. $2\sqrt{15}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 对照焦点在 $x$ 轴上的双曲线标准方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，得 $a^2=20$、$b^2=5$。
2. 由 $c^2=a^2+b^2$ 求半焦距 $c$。
3. 焦距是两个焦点间的距离，即 $2c$，不要只写半焦距 $c$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解：

双曲线方程为： $\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{5}=1\text{(1)}$

对照焦点在 $x$ 轴上的双曲线标准方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$： $a^2=20\text{(2)}$ $b^2=5\text{(3)}$

由双曲线中 $a,b,c$ 的关系： $c^2=a^2+b^2\text{(4)}$

代入 ②、③： $c^2=20+5=25\text{⑤}$ 开方： $c=\sqrt{25}=5\text{⑥}$

双曲线的焦距是两个焦点之间的距离，即 $2c$： $\text{焦距}=2c=2\times 5=10\text{⑦}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线中 $a^2,b^2,c^2$ 的关系、焦距的定义。
2. 核心方法：公式法。
3. 避坑指南：
   • 易错点（把半焦距当焦距而错选 B）：算出 $c=5$ 后，容易把半焦距 $c$ 当成焦距。焦距是 $2c$，不是 $c$。
   • 注意与椭圆公式区分：椭圆是 $c^2=a^2-b^2$，双曲线是 $c^2=a^2+b^2$。若误用椭圆公式，会得 $c^2=20-5=15$，$2c=2\sqrt{15}$，错选 D。双曲线焦点在实轴两端外侧，$c$ 最大，用加法。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为 1988 年全国高考理科卷第 4 题，考查双曲线焦距的计算。
2. 结论推广：双曲线 $\frac{x^2}{M}-\frac{y^2}{N}=1$（$M>0,N>0$）的焦距为 $L=2\sqrt{M+N}$ 本题 $M=20,N=5$，代入得 $L=2\sqrt{20+5}=10$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 1988-全国文-05 单-椭圆的焦距
• 1990-广东文-03 单-椭圆的离心率
• 1996-全国卷文-09 单-由准线与离心率定椭圆方程