1988-全国卷理-02 单-点与圆、直线的位置关系

本题导读

本题考查点与圆的位置关系，以及点与直线的位置关系。

📌【题干】

Question

（1988年全国卷(理)） 设圆 $M$ 的方程为 $(x-3{)}^2+(y-2{)}^2=2$，直线 $L$ 的方程为 $x+y-3=0$，点 $P$ 的坐标为 $(2,1)$，那么 ()

A. 点 $P$ 在直线 $L$ 上，但不在圆 $M$ 上 B. 点 $P$ 在圆 $M$ 上，但不在直线 $L$ 上 C. 点 $P$ 既在圆 $M$ 上，又在直线 $L$ 上 D. 点 $P$ 既不在直线 $L$ 上，也不在圆 $M$ 上

🔍【思路分析】

破题导航

1. 把点 $P(2,1)$ 代入圆 $M$ 的方程，看是否成立。
2. 把点 $P(2,1)$ 代入直线 $L$ 的方程，看是否等于 0。
3. 综合两步判断选项。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：判断点 $P$ 与圆 $M$ 的位置关系 把 $x=2,y=1$ 代入圆 $M$ 方程左端： $\text{左端}=(2-3{)}^2+(1-2{)}^2=(-1{)}^2+(-1{)}^2=1+1=2\text{(1)}$ 圆方程右端： $\text{右端}=2\text{(2)}$ 左端 = 右端，所以点 $P(2,1)$ 在圆 $M$ 上。

• 第二步：判断点 $P$ 与直线 $L$ 的位置关系 把 $x=2,y=1$ 代入直线 $L$ 的方程 $x+y-3$： $2+1-3=3-3=0\text{(3)}$ 结果为 0，所以点 $P(2,1)$ 在直线 $L$ 上。

综上，点 $P$ 既在圆 $M$ 上，又在直线 $L$ 上（即点 $P$ 是直线 $L$ 与圆 $M$ 的一个交点）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：点在曲线上的充要条件（坐标满足方程）。
2. 核心方法：代入验证法。
3. 避坑指南：
   • 本题是基础题，注意计算别出错（如 $(-1{)}^2+(-1{)}^2$ 别算错）。
   • 不必画图，也不必算圆心到直线的距离，直接代入坐标看等式是否成立即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为 1988 年全国高考理科卷第 2 题，考查点与圆、直线位置关系的基本判定。
2. 结论推广：点是否在曲线（或直线）上，只需把坐标代入方程看是否成立。对曲线 $f(x,y)=0$ 与 $g(x,y)=0$，点 $P$ 同时在两者上的充要条件是 $f(P)=0$ 且 $g(P)=0$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 1988-全国文-02 单-点与圆、直线的位置关系
• 1995-全国卷文-08 单-两圆的位置关系判定
• 1990-广东理-22 单-圆上点的最值