1988-上海-05 填-圆锥的轴截面

本题导读

本题考查圆锥侧面展开图与轴截面半顶角的关系。

📌【题干】

Question

（1988年上海卷） 圆锥的侧面展开图是圆心角为 $216^{\circ }$ 的扇形，则此圆锥的轴截面的半顶角的正弦是　$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

侧面展开扇形弧长 = 底面周长，半顶角正弦 = 底面半径/母线。

✅【答案】

Success

$\frac{3}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

设母线 $l$，底面半径 $r$。侧面展开扇形圆心角 $216°=\frac{6\pi }{5}$，弧长 $\frac{6\pi }{5}\cdot l=2\pi r$，故 $r=\frac{3}{5}l$。轴截面半顶角 $\theta$ 满足 $\sin \theta =\frac{r}{l}=\frac{3}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆锥的轴截面

核心方法：侧面展开圆心角 $216°$ 与轴截面半顶角的关系。

避坑指南：半顶角正弦 $\frac{3}{5}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆锥轴截面。

结论推广：半顶角。

方法推广：侧面展开。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1990-广东理-05 单-圆台的母线长与侧面积
• 1991-上海-07 填-圆锥的侧面积
• 1993-旧高考文-03 单-圆锥的轴截面顶角