1987-广东文-33 解-抛物线的焦点弦

本题导读

本题考查抛物线的焦点弦。核心在于用韦达定理证 $y_1{y}_2=-p^2$，再用斜率相等证三点共线。

📌【题干】

Question

（1987年广东卷(文)） 直线 $l$ 通过抛物线 $y^2=2px$（$p\ne 0$）的焦点，并且与这抛物线相交于 $A(x_1,y_1)$ 和 $B(x_2,y_2)$ 两点.

(1)求证：$y_1{y}_2=-p^2$；

(2)点 $C$ 在这抛物线的准线上，且 $AC$ 平行于 $x$ 轴，求证：$B$，$C$ 和这抛物线的顶点三点共线.

🔍【思路分析】

破题导航

（1）分 $l\perp x$ 轴与不垂直讨论，联立后用韦达定理；（2）比较 $OB$ 与 $OC$ 的斜率。

✅【答案】

Success

(1)证明见解析；(2)证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）焦点 $F\left(\frac{p}{2},0\right)$。若 $l\perp x$ 轴，则 $x_1=x_2=\frac{p}{2}$，$y_1{y}_2=-p^2$ 成立（通径端点）；否则设 $l:y=k\left(x-\frac{p}{2}\right)$，即 $x=\frac{y}{p}+\frac{p}{2}$，代入 $y^2=2p\left(\frac{y}{p}+\frac{p}{2}\right)$ 得 $y^2-2\frac{1}{k}py-p^2=0$，由韦达定理 $y_1{y}_2=-p^2$。 （2）准线 $x=-\frac{p}{2}$，由 $AC\parallel x$ 轴得 $C\left(-\frac{p}{2},y_1\right)$。又 $x_2=\frac{y_2^2}{2p}$，故直线 $OB$ 的斜率 $\frac{y_2}{x_2}=\frac{2p}{y_2}$；直线 $OC$ 的斜率 $\frac{y_1}{-\frac{p}{2}}=-\frac{2y_1}{p}=\frac{2p}{y_2}$（用 $y_1{y}_2=-p^2$）。斜率相等，故 $B$，$C$ 与顶点 $O$ 三点共线。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线的焦点弦

核心方法：过焦点直线韦达定理证 $y_1{y}_2=-p^2$，再证三点共线。

避坑指南：$y_1{y}_2=-p^2$，$B,C,O$ 共线。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线焦点弦。

结论推广：韦达定理。

方法推广：$y_1{y}_2=-p^2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1987-广东理-33 解-抛物线的焦点弦
• 1989-广东文-25 单-抛物线的焦点弦
• 1990-全国文-10 单-抛物线的焦点与准线