1987-广东文-30 填-函数的值域

本题导读

本题考查函数的值域，核心在于把值域问题转化为方程有解的条件。

📌【题干】

Question

（1987年广东卷(文)） 函数 $y=\frac{2x}{1+x^2}$（$x\in \mathbf{R}$）的值域是　$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

反解出 $y{x}^2-2x+y=0$，判别式 $\Delta \ge 0$。

✅【答案】

Success

$[-1,1]$

✍【详细解析】

Abstract

反解：$y{x}^2-2x+y=0$ 视为关于 $x$ 的方程，$x\in \mathbf{R}$ 有解当且仅当 $y=0$ 或 $\Delta =4-4y^2\ge 0$，即 $y^2\le 1$。故值域为 $[-1,1]$。（亦可由 $1+x^2\ge 2|x|$ 得 $\left|\frac{2x}{1+x^2}\right|\le 1$。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数的值域

核心方法：$y=\frac{2x}{1+x^2}$，用判别式或基本不等式求值域。

避坑指南：$|y|\le 1$，值域 $[-1,1]$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数值域。

结论推广：基本不等式。

方法推广：$|y|\le 1$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1989-广东理-26 填-函数的值域
• 1989-广东文-02 单-对数函数的值域
• 1988-广东文-17 单-二次函数的值域