1987-全国卷理-14 填-排列与不相邻计数

本题导读

本题考查排列组合基本计数原理，以及插空法与捆绑法。

📌【题干】

Question

（1987年全国卷(理)） 由数字 $1,2,3,4,5$ 组成没有重复数字且数字 $1$ 与 $2$ 不相邻的五位数. 求这种五位数的个数.

🔍【思路分析】

破题导航

• 方法一（直接法——插空法）：
  1. “不相邻”问题常采用插空法。首先将没有限制条件的其余数字 $3,4,5$ 进行全排列。
  2. 观察 $3,4,5$ 排列后所形成的内部与两端的空隙（间隔）。
  3. 从这些空隙中任选两个位置插入数字 $1$ 与 $2$，完成不相邻五位数的全排列计数。
• 方法二（间接法——补集排除法）：
  1. 计算无约束条件下，5 个数字全排列所能组成的所有无重复五位数的总数。
  2. 利用“捆绑法”计算数字 $1$ 与 $2$ 强行“相邻”的错误五位数个数。
  3. 用总数减去相邻的个数，即得不相邻的完备解集。

✅【答案】

Success

$72$

✍【详细解析】

Abstract

解法一（直接插空法）：

首先，将没有位置限制条件的数字 $3,4,5$ 进行全排列，其排列总数为： ${\mathrm{A}}_3^3=3\times 2\times 1=6\text{(1)}$

这三个数字排成一列后，其左、右两端以及数字相互之间一共创造出 $4$ 个可以供其他数字插入的空隙（例如：$\text{口}3\text{口}4\text{口}5\text{口}$）。 为了确保数字 $1$ 与 $2$ 绝不相邻，必须将它们分别插入到这 $4$ 个空隙中的任意 $2$ 个不同位置。该操作的排列总数为： ${\mathrm{A}}_4^2=4\times 3=12\text{(2)}$

根据分步乘法计数原理，满足数字 $1$ 与 $2$ 不相邻的无重复五位数总个数 $N$ 为： $N={\mathrm{A}}_3^3\times {\mathrm{A}}_4^2=6\times 12=72\text{(3)}$

解法二（间接补集法）：

由 $1,2,3,4,5$ 这五个数字组成的无重复五位数总数为： $N_{\text{总}}={\mathrm{A}}_5^5=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120\text{(4)}$

考虑其对立事件，即数字 $1$ 与 $2$ 必须处于“相邻”状态。 应用“捆绑法”，将数字 $1$ 与 $2$ 视作一个整体不变量模组 $[1,2]$，与剩下的数字 $3,4,5$ 一起进行全排列。此时相当于对 $4$ 个元素进行全排列，其排列数为 ${\mathrm{A}}_4^4$。 同时，被捆绑的模组内部，数字 $1$ 与 $2$ 自身可以互换位置，其内部排列数为 ${\mathrm{A}}_2^2$。 由此，数字 $1$ 与 $2$ 相邻的五位数总个数为： $N_{\text{相邻}}={\mathrm{A}}_4^4\times {\mathrm{A}}_2^2=(4\times 3\times 2\times 1)\times (2\times 1)=24\times 2=48\text{⑤}$

根据补集思想，不相邻的五位数个数 $N$ 为总数与相邻数的代数差： $N=N_{\text{总}}-N_{\text{相邻}}=120-48=72\text{⑥}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：有限制条件的排列组合、元素相邻与不相邻的经典计数模型。
2. 核心方法：插空法（解决不相邻问题）、间接排除法。
3. 避坑指南：
   • 使用插空法时，切记要先排没有特殊限制的元素（本题中为 $3,4,5$），确定好空格基数后才能插入特殊元素。
   • 使用间接法捆绑元素时，切记不要漏掉捆绑模组内部元素自身的换位排列（即 ${\mathrm{A}}_2^2$ ），否则会导致错误排除数减小（漏算 $[2,1]$ 组合形式）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为 1987 年全国高考理科卷第 14 题，属于概率统计与组合数学开篇的必考传统经典题型。其高等数学背景为离散数学（Discrete Mathematics）中关于有限对称群 $S_n$ 的置换群元素在特定轨道禁区（Forbidden positions）下的受限排列计数。
2. 结论推广：由 $1,2,\dots ,n$ 共 $n$ 个互异数字组成无重复的 $n$ 位数，若要求其中特定的 $2$ 个数字互不相邻（ $n\ge 3$ ），则其完备排列数满足下列一阶线性组合控制方程： $N=(n-2)\cdot (n-1)!$ 在本题特定标量中（ $n=5$ ），代入推广方程直接核算： $N=(5-2)\cdot (5-1)!=3\times 4!=3\times 24=72$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

1989-全国文-09 单-数字排列计数 1990-全国文-12 单-受限排列计数 1988-全国文-14 单-组合计数（至少含次品）