1986-全国理-17 解-面面垂直的证明

本题导读

本题考查空间面面垂直的判定定理、线面垂直的性质与判定定理。核心在于线面垂直转化法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1986年全国卷(理)） 如图， $AB$ 是圆 $O$ 的直径， $PA$ 垂直于圆 $O$ 所在的平面， $C$ 是圆周上不同于 $A$、 $B$ 的任一点，求证：平面 $PAC$ 垂直于平面 $PBC$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 寻找切入线段： 欲证平面 $PAC\perp$ 平面 $PBC$，根据面面垂直判定定理，只需在其中一个平面内找一条直线，证明它垂直于另一个平面。本题选择证明直线 $BC\perp$ 平面 $PAC$。
2. 挖掘底面圆几何条件： 因为 $AB$ 是圆 $O$ 的直径，且 $C$ 在圆周上，根据圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，即 $BC\perp AC$。
3. 利用线面垂直性质转换： 因为 $PA\perp$ 圆 $O$ 所在平面，而 $BC$ 包含于该平面，根据线面垂直的定义，必有 $PA\perp BC$。
4. 合成线面垂直并推导面面垂直： 因为 $BC$ 同时垂直于平面 $PAC$ 内的两条相交直线 $AC$ 和 $PA$，所以 $BC\perp$ 平面 $PAC$。又因为 $BC$ 包含于平面 $PBC$，从而宣告两平面垂直。

✅【答案】

Success

证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

证明： 因为 $PA\perp$ 圆 $O$ 所在的平面，而 $BC\subset$ 圆 $O$ 所在的平面，由线面垂直的定义得 $PA\perp BC$。 因为 $AB$ 是圆 $O$ 的直径，$C$ 是圆周上异于 $A$、$B$ 的一点，由直径所对的圆周角是直角，得 $BC\perp AC$。 又 $PA$、$AC$ 是平面 $PAC$ 内两条相交直线（交点为 $A$），故由线面垂直判定定理得 $BC\perp$ 平面 $PAC$。 因为 $BC\subset$ 平面 $PBC$，由面面垂直判定定理（一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两平面垂直）得平面 $PAC\perp$ 平面 $PBC$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 降维转化：把「面面垂直」转化为「线面垂直」（证 $BC\perp$ 平面 $PAC$），再转化为「线线垂直」（$BC\perp PA$、$BC\perp AC$）。
• 相交条件：用线面垂直判定定理时，必须交代 $PA$ 与 $AC$ 是平面 $PAC$ 内两条相交直线（$PA\cap AC=A$），缺此条件推导不严谨。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于教材中”线面垂直、面面垂直的判定”基本模型，以圆中直径所对圆周角为直角为背景，考查线面垂直与面面垂直的转化，是”鳖臑”模型的经典原型。

2. 结论推广：在 $PA\perp$ 底面、$△ABC$ 为直角三角形的四面体 $P-ABC$（鳖臑）中，四个面都是直角三角形；若从 $A$ 向 $PC$ 作垂线 $AE$，则可进一步证得 $AE\perp$ 平面 $PBC$。

3. 方法推广：证明面面垂直，优先在其中一个平面内找一条垂直于另一个平面的直线。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 1993-新高考文-27 解-面面垂直与线面垂直的证明
• 1993-新高考理-26 解-面面垂直与线面垂直的证明
• 1986-全国文-17 解-面面垂直的证明
• 1988-全国文-22 解-线面垂直与向量夹角