1986-全国理-16 填-三角恒等变换求值

本题导读

本题考查同角三角函数基本关系，以及立方差公式。

📌【题干】

Question

（1986年全国卷(理)） 已知 $\sin \theta -\cos \theta =\frac{1}{2}$，求 ${\sin }^3\theta -{\cos }^3\theta$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 提取乘积项 $\sin \theta \cos \theta$： 已知 $\sin \theta -\cos \theta =\frac{1}{2}$。利用完全平方公式对两端进行平方，引入同角三角函数不变量 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$，从而反解出 $\sin \theta \cos \theta$ 的精确值。
2. 展开目标立方差式： 调用因式分解中的立方差公式： $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$。
3. 整体代入求值： 将已知的一阶差项、不变量平方和以及算出的乘积项统一注入展开式中，通过有理计算输出最终结果。

✅【答案】

Success

$\frac{11}{16}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $\sin \theta -\cos \theta =\frac{1}{2}$ 两边平方，得 ${\sin }^2\theta -2\sin \theta \cos \theta +{\cos }^2\theta =\frac{1}{4}$。 利用 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$，得 $1-2\sin \theta \cos \theta =\frac{1}{4}$，故 $\sin \theta \cos \theta =\frac{3}{8}$。 对目标式用立方差公式： ${\sin }^3\theta -{\cos }^3\theta =(\sin \theta -\cos \theta )({\sin }^2\theta +\sin \theta \cos \theta +{\cos }^2\theta )=(\sin \theta -\cos \theta )\left[({\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta )+\sin \theta \cos \theta \right]$。 代入已知得 ${\sin }^3\theta -{\cos }^3\theta =\frac{1}{2}\cdot \left(1+\frac{3}{8}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{11}{8}=\frac{11}{16}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 整体代换：无需解出具体的 $\theta$，只要求出 $\sin \theta \cos \theta$，再利用 $\sin \theta -\cos \theta$ 与 $\sin \theta \cos \theta$ 整体代入即可。
• 立方差符号：${\sin }^3\theta -{\cos }^3\theta =(\sin \theta -\cos \theta )({\sin }^2\theta +\sin \theta \cos \theta +{\cos }^2\theta )$，中间项是 $+\sin \theta \cos \theta$，不要与完全平方公式的符号混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于教材同角三角函数基本关系与乘法公式的综合运用，考查 $(\sin \theta \pm \cos \theta {)}^2=1\pm 2\sin \theta \cos \theta$ 的桥梁作用，是”知和求积、知积求和”的经典模型。

2. 结论推广：设 $\sin \theta -\cos \theta =m$，则 $\sin \theta \cos \theta =\frac{1-m^2}{2}$，且 ${\sin }^3\theta -{\cos }^3\theta =m(1+\frac{1-m^2}{2})=\frac{m(3-m^2)}{2}$。

3. 方法推广：已知 $\sin \theta -\cos \theta$（或 $\sin \theta +\cos \theta$）的值，先平方求出 $\sin \theta \cos \theta$，再用立方差、立方和公式整体求高次式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 1987-全国卷理-16 解-三角恒等变换求值
• 1988-广东理-24 单-三角恒等式的化简求值