1986-全国理-12 填-立方虚根的运算

本题导读

本题考查立方虚根的性质，以及复数的代数运算。

📌【题干】

Question

（1986年全国卷(理)） 已知 $\omega =\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}$，求 ${\omega }^2+\omega +1$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

• 方法一（方程构造法）： 观察已知虚数 $\omega$ 的代数形式，其为三次单位根（${\omega }^3=1$）的其中一个虚根结构。 通过对等式变形，两端同乘以 2 并将实部常数 $-1$ 移至同侧，随后两端同步平方脱去虚数单位 $\mathrm{i}$，可直接构建出包含 ${\omega }^2+\omega +1$ 的二次多项式方程。
• 方法二（直接代入法）： 直接计算 ${\omega }^2$ 的代数式，再与 $\omega$ 和 $1$ 进行复数加法合并，合并实部与虚部。

✅【答案】

Success

$0$

✍【详细解析】

Abstract

解法一（方程构造法） 由 $\omega =\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}$，两边同乘 $2$ 得 $2\omega =-1-\sqrt{3}\mathrm{i}$，移项得 $2\omega +1=-\sqrt{3}\mathrm{i}$。 两边平方：$(2\omega +1{)}^2=(-\sqrt{3}\mathrm{i}{)}^2$，即 $4{\omega }^2+4\omega +1=3{\mathrm{i}}^2=-3$。 移项合并得 $4{\omega }^2+4\omega +4=0$，两边同除以 $4$ 得 ${\omega }^2+\omega +1=0$。

解法二（直接代入法） 先算 ${\omega }^2={\left(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\right)}^2=\frac{1+2\sqrt{3}\mathrm{i}-3}{4}=\frac{-2+2\sqrt{3}\mathrm{i}}{4}=\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}$。 于是 ${\omega }^2+\omega +1=\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}+\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}+1=\frac{-2}{2}+1=-1+1=0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 立方虚根：$\omega =\frac{-1\pm \sqrt{3}\mathrm{i}}{2}$ 是三次单位根的两个虚根，满足 ${\omega }^2+\omega +1=0$ 且 ${\omega }^3=1$，这是解题的常用结论。
• ${\mathrm{i}}^2=-1$：平方时注意 $(\sqrt{3}\mathrm{i}{)}^2=3{\mathrm{i}}^2=-3$，不要误写成 $3$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于教材中复数三角形式与单位根内容，$\omega =\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}$ 是 $x^3=1$ 的非实根，考查 ${\omega }^3=1$ 及 $1+\omega +{\omega }^2=0$ 的本质。

2. 结论推广：对任意 $n$ 次单位根 ${\omega }_k$（${\omega }_k\ne 1$），恒有 $1+{\omega }_k+{\omega }_k^2+\cdots +{\omega }_k^{n-1}=0$。

3. 方法推广：看到 $x^2+x+1$ 或 $x^3=1$ 的结构，可直接联想到三次单位根的性质，避免硬算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1986-上海文-09 单-复数的辐角主值
• 1986-上海文-19 单-复数模与平方
• 1986-上海理-09 单-复数的辐角主值