1986-全国理-07 单-圆的对称性

本题导读

本题考查圆关于直线的对称条件。

📌【题干】

Question

（1986年全国卷(理)） 如果方程 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$（$D^2+E^2-4F>0$）所表示的曲线关于直线 $y=x$ 对称，那么必有 ()

A. $D=E$　　　　　　B. $D=F$　　　　　　C. $E=F$　　　　　　D. $D=E=F$

🔍【思路分析】

破题导航

圆关于 $y=x$ 对称 $\iff$ 圆心在 $y=x$ 上。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

圆心 $\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$ 在直线 $y=x$ 上，即 $-\frac{D}{2}=-\frac{E}{2}$，得 $D=E$。故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 圆的对称性：圆关于直线 $y=x$ 对称，等价于圆心落在直线 $y=x$ 上。
• 圆心坐标：圆 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ 的圆心为 $\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于圆的一般方程与对称性，考查圆心 $\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$ 在对称轴 $y=x$ 上，属解析几何基础题。

2. 结论推广：圆关于直线 $y=x$ 对称的充要条件是 $D=E$；圆关于 $x$ 轴对称的充要条件是 $E=0$，关于 $y$ 轴对称的充要条件是 $D=0$。

3. 方法推广：判断曲线关于某直线对称，把对称条件转化为曲线关键点（如圆心）落在那条直线上。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 1986-全国文-08 单-圆的对称性
• 1988-广东文-09 单-圆的一般方程与对称性
• 1988-广东理-07 单-圆的一般方程与对称性
• 1989-广东文-08 单-直线关于 y=x 对称