1986-全国文-20 解-分步计数原理

本题导读

本题考查分步乘法计数原理。核心在于按公司逐步分配。

📌【题干】

Question

（1986年全国卷(文)） 甲、乙、丙、丁四个公司承包 $8$ 项工程，甲公司承包 $3$ 项，乙公司承包 $1$ 项，丙、丁两个公司各承包 $2$ 项，问共有多少种承包方式.

🔍【思路分析】

破题导航

依次为甲、乙、丙选工程，丁取剩余，各步组合数相乘。

✅【答案】

Success

$1680$ 种

✍【详细解析】

Abstract

从 8 项中选 3 项给甲：$C_8^3=56$；再从余下 5 项中选 1 项给乙：$C_5^1=5$；再从余下 4 项中选 2 项给丙：$C_4^2=6$；最后 2 项给丁：$C_2^2=1$。由分步乘法原理，共有 $C_8^3{C}_5^1{C}_4^2{C}_2^2=56\cdot 5\cdot 6\cdot 1=1680$ 种承包方式。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分步计数原理

核心方法：分步：甲选 3 项、乙选 1 项、丙选 2 项、丁取余 2 项。

避坑指南：$C_8^3{C}_5^1{C}_4^2{C}_2^2=56\cdot 5\cdot 6\cdot 1=1680$ 种。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分步乘法计数。

结论推广：有序分配逐步取组合。

方法推广：$C$ 连乘。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 1990-广东文-10 单-排列的计数
• 1990-全国文-12 单-受限排列计数
• 1990-广东理-04 单-排列分排计数