1986-上海理-28 填-差角的余切

本题导读

本题考查差角余切公式与同角三角函数的求值。

📌【题干】

Question

（1986年上海卷(理)） 已知 $\cos \theta =-\frac{3}{5}$ 且 $\pi <\theta <\frac{3\pi }{2}$，则 $\cot \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

第三象限 $\sin \theta =-\frac{4}{5}$，$\cot \theta =\frac{3}{4}$，再用差角余切公式。

✅【答案】

Success

$7$

✍【详细解析】

Abstract

第三象限 $\sin \theta =-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\frac{4}{5}$，$\cot \theta =\frac{\cos \theta }{\sin \theta }=\frac{-3/5}{-4/5}=\frac{3}{4}$。$\cot (\theta -\frac{\pi }{4})=\frac{\cot \theta \cot \frac{\pi }{4}+1}{\cot \frac{\pi }{4}-\cot \theta }=\frac{\frac{3}{4}+1}{1-\frac{3}{4}}=\frac{7/4}{1/4}=7$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：差角的余切

核心方法：$\cot (\theta -\frac{\pi }{4})=\frac{\cot \theta \cot \frac{\pi }{4}+1}{\cot \frac{\pi }{4}-\cot \theta }=\frac{\cot \theta +1}{1-\cot \theta }$。

避坑指南：$\theta$ 第三象限：$\sin \theta =-\frac{4}{5}$，$\cot \theta =\frac{\cos \theta }{\sin \theta }=\frac{-3/5}{-4/5}=\frac{3}{4}$，代得 $\frac{7/4}{1/4}=7$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：差角余切。

结论推广：$\cot (\alpha -\beta )$ 公式。

方法推广：先求 $\cot \theta$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2002-新课标文-14 填-二倍角求余切
• 2004-重庆文-05 单-积化和差求值