1986-上海理-20 单-点集的交集

本题导读

本题考查点集的补集与交集运算，核心在于分式方程定义域的挖点。

📌【题干】

Question

（1986年上海卷(理)） 若全集 $I=\{(x,y)\mid x,y\in \mathbf{R}\}$，$A=\left\{(x,y)\mid \frac{y-3}{x-2}=1\right\}$，$B=\{(x,y)\mid y=x+1\}$，则 ${\complement }_{I}A\cap B$ 是 ()

A. $A$

B. $B$

C. $\varnothing$

D. $\{(2,3)\}$（★校勘：dump 文本层丢补集符号印作 $A\cap B$，按官方答案 D 裁定为 ${\complement }_{I}A\cap B$.）

🔍【思路分析】

破题导航

$A$ 是直线 $y=x+1$ 挖去点 $(2,3)$；补集补回该点，再与 $B$ 交。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

$A=\{(x,y)\mid y=x+1$ 且 $x\ne 2\}$（分式要求 $x\ne 2$），即直线 $y=x+1$ 挖去点 $(2,3)$。${\complement }_{I}A$ 含点 $(2,3)$ 及直线外所有点。${\complement }_{I}A\cap B$：$B$ 上直线外的点都在 $A$ 中（不在补集），只有被挖去的点 $(2,3)$ 属于补集又属于 $B$。故 ${\complement }_{I}A\cap B=\{(2,3)\}$。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：点集的交集

核心方法：$A=\{y=x+1$ 且 $x\ne 2\}$，${\complement }_{I}A$ 补回点 $(2,3)$，与 $B=y=x+1$ 交于该点。

避坑指南：${\complement }_{I}A\cap B=\{(2,3)\}$，选 D。（★校勘：dump 文本层丢补集符号印作 $A\cap B$，若直读交集应为 $A$，与官方答案 D 矛盾；按 ${\complement }_{I}A\cap B$ 裁定。）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：点集与方程。

结论推广：分式方程定义域挖点。

方法推广：交集核对特殊点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 1989-全国文-01 单-集合的补集与交集
• 1987-全国文-01 单-集合的交集与并集