1985-广东理-33 解-对数函数的定义域与最值

本题导读

本题考查对数函数定义域恒成立的充要条件与最小值问题。核心在于对真数配方的判断。

📌【题干】

Question

（1985年广东卷(理)） 设函数 $f(x)={\log }_3(x^2-4mx+4m^2+m+\frac{1}{m-1})$，其中 $m$ 是实数，又用 $M$ 表示集合 $\{m|m>1\}$.

(1)求证：当 $m\in M$ 时，$f(x)$ 对所有实数 $x$ 都有意义；反之，如果 $f(x)$ 对所有实数 $x$ 都有意义，则 $m\in M$.

(2)当 $m\in M$ 时，求函数 $f(x)$ 的最小值.

(3)求证：对每一个 $m\in M$，函数 $f(x)$ 的最小值都不小于 1.

🔍【思路分析】

破题导航

真数 $=(x-2m{)}^2+m+\frac{1}{m-1}$，恒正当且仅当 $m>1$。

✅【答案】

Success

(1) (3) 证明见解析

(2) 最小值为 ${\log }_3(m+\frac{1}{m-1})$

✍【详细解析】

Abstract

(1)当 $m\in M$ 即 $m>1$ 时，对任意实数 $x$，$x^2-4mx+4m^2+m+\frac{1}{m-1}=(x-2m{)}^2+m+\frac{1}{m-1}\ge m+\frac{1}{m-1}>0$，故 $f(x)$ 对所有实数 $x$ 有意义。反之，若 $f(x)$ 对所有实数 $x$ 有意义，则对任意 $x$ 真数 $>0$，取 $x=2m$ 得 $m+\frac{1}{m-1}>0$，即 $\frac{(m-1/2{)}^2+3/4}{m-1}>0$，因分子恒正，故 $m-1>0$，即 $m>1$，$m\in M$。 (2)因以 3 为底的对数是增函数，$f(x)={\log }_3[(x-2m{)}^2+m+\frac{1}{m-1}]\ge {\log }_3(m+\frac{1}{m-1})$，且 $f(2m)={\log }_3(m+\frac{1}{m-1})$，故最小值为 ${\log }_3(m+\frac{1}{m-1})$。 (3)当 $m>1$ 时，$m+\frac{1}{m-1}=(m-1)+\frac{1}{m-1}+1\ge 2\sqrt{(m-1)\cdot \frac{1}{m-1}}+1=3$。故 ${\log }_3(m+\frac{1}{m-1})\ge {\log }_{3}3=1$，即最小值不小于 1。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数函数的定义域与最值

核心方法：配方与均值不等式

避坑指南：真数 $=(x-2m{)}^2+m+\frac{1}{m-1}$ 恒正当且仅当 $m>1$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数函数定义域的充要条件

结论推广：真数恒正当且仅当 $m>1$

方法推广：配方判断真数恒正

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1986-广东理-19 单-对数函数的值域
• 1987-全国文-19 解-对数不等式的恒成立