1985-广东理-22 单-复数的旋转变换

本题导读

本题考查复数乘法的几何意义（旋转变换）。

📌【题干】

Question

（1985年广东卷(理)） 设向量 $\overrightarrow{OZ}$ 对应于复数 $-2\sqrt{3}+4i$，把 $\overrightarrow{OZ}$ 按顺时针方向旋转 $60^{\circ }$ 得到 $\overrightarrow{O{Z}_1}$，则与向量 $\overrightarrow{O{Z}_1}$ 对应的复数是 ()

A. $-3\sqrt{3}-i$　　　　B. $\sqrt{3}+5i$　　　　C. $-2\sqrt{3}-4i$　　　　D. $2\sqrt{3}+4i$　　　　E. $1+3\sqrt{3}i$

🔍【思路分析】

破题导航

顺时针旋转 $60^{\circ }$ 乘 $\cos 60^{\circ }-i\sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

顺时针旋转 $60^{\circ }$ 对应乘 $(\cos 60^{\circ }-i\sin 60^{\circ })=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$。$(-2\sqrt{3}+4i)(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)=-\sqrt{3}+3i+2i+2\sqrt{3}=\sqrt{3}+5i$。选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的旋转变换

核心方法：乘旋转因子 $e^{-i60^{\circ }}$

避坑指南：顺时针旋转对应乘 $\cos 60^{\circ }-i\sin 60^{\circ }$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数的几何意义与旋转

结论推广：复数乘 $e^{i\theta }$ 表示旋转 $\theta$

方法推广：旋转因子的应用

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1985-上海文-12 单-复数乘法与象限
• 1986-上海理-09 单-复数的辐角主值