1985-广东理-18 单-二项式展开式奇数项系数和

本题导读

本题考查二项式展开式中偶数项系数和。

📌【题干】

Question

（1985年广东卷(理)） 如果 $n$ 是正偶数，则 $C_n^0+C_n^2+\cdots +C_n^{n-2}+C_n^n=$ ()

A. $2^n$　　　　B. $2^{n-1}$　　　　C. $2^{n-2}$　　　　D. $(n-1)2^{n-1}$　　　　E. $(n-1)2^{n-2}$

🔍【思路分析】

破题导航

二项式展开偶数项系数和等于奇数项系数和 $=2^{n-1}$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

$(1+1{)}^n=C_n^0+C_n^1+\cdots +C_n^n=2^n$，$(1-1{)}^n=C_n^0-C_n^1+\cdots +(-1{)}^n{C}_n^n=0$。两式相加得 $2(C_n^0+C_n^2+\cdots +C_n^n)=2^n$，故 $C_n^0+C_n^2+\cdots +C_n^n=2^{n-1}$。选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式展开式奇数项系数和

核心方法：奇数项系数和公式

避坑指南：$C_n^0+C_n^2+\cdots +C_n^n=2^{n-1}$（$n$ 偶）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式系数和的奇偶分解

结论推广：$\sum C_n^{奇}=\sum C_n^{偶}=2^{n-1}$

方法推广：二项式系数和公式

🔗【关联脉络】

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