1985-全国理-14 解-复数重心最值

本题导读

本题考查复数三角形式与最值的综合。核心在于用模长 $r_1,r_2$ 作变量，结合面积定值与均值不等式求重心模的最小值。

📌【题干】

Question

（1985年全国卷(理)） 设 $O$ 为复平面的原点，$Z_1$ 和 $Z_2$ 为复平面内的两动点，并且满足：

(1) $Z_1$ 和 $Z_2$ 所对应的复数的辐角分别为定值 $\theta$ 和 $-\theta$ $\left(0<\theta <\frac{\pi }{2}\right)$；

(2) $△O{Z}_1{Z}_2$ 的面积为定值 $S$，求 $△O{Z}_1{Z}_2$ 的重心 $Z$ 所对应的复数的模的最小值．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $r_1=|O{Z}_1|$、$r_2=|O{Z}_2|$，则 $Z_1=r_1(\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta )$、$Z_2=r_2(\cos \theta -\mathrm{i}\sin \theta )$。
2. 由面积定值 $S=\frac{1}{2}{r}_1{r}_2\sin 2\theta$ 锁定 $r_1{r}_2$。
3. 重心 $Z=\frac{1}{3}(Z_1+Z_2)$，写出 $|Z{|}^2$，用均值不等式求下界。

✅【答案】

Success

$|Z{|}_{\min }=\frac{2}{3}\sqrt{S\cot \theta }$

✍【详细解析】

Abstract

设 $r_1=|O{Z}_1|$、$r_2=|O{Z}_2|$（$r_1,r_2>0$），则 $Z_1=r_1(\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta )$，$Z_2=r_2(\cos \theta -\mathrm{i}\sin \theta )$。 射线 $O{Z}_1$ 与 $O{Z}_2$ 的夹角为 $2\theta$，故 $S=\frac{1}{2}{r}_1{r}_2\sin 2\theta$，得 $r_1{r}_2=\frac{2S}{\sin 2\theta }=\frac{S}{\sin \theta \cos \theta }$。 重心 $Z=\frac{1}{3}(Z_1+Z_2)=\frac{1}{3}\left[(r_1+r_2)\cos \theta +\mathrm{i}(r_1-r_2)\sin \theta \right]$， 于是 $|Z{|}^2=\frac{1}{9}\left[(r_1+r_2{)}^2{\cos }^2\theta +(r_1-r_2{)}^2{\sin }^2\theta \right]=\frac{1}{9}\left[r_1^2+r_2^2+2r_1{r}_2\cos 2\theta \right]$。 由均值不等式 $r_1^2+r_2^2\ge 2r_1{r}_2$，得 $|Z{|}^2\ge \frac{1}{9}\left[2r_1{r}_2+2r_1{r}_2\cos 2\theta \right]=\frac{2r_1{r}_2}{9}(1+\cos 2\theta )=\frac{4r_1{r}_2{\cos }^2\theta }{9}$。 代入 $r_1{r}_2=\frac{S}{\sin \theta \cos \theta }$，得 $|Z{|}^2\ge \frac{4}{9}\cdot \frac{S}{\sin \theta \cos \theta }\cdot {\cos }^2\theta =\frac{4S}{9}\cot \theta$。 当且仅当 $r_1=r_2$ 时等号成立，故 $|Z{|}_{\min }=\frac{2}{3}\sqrt{S\cot \theta }$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 极坐标代换：辐角为定值的问题，用模长 $r$ 作变量、复数用三角形式表示，可自然解耦变量。
• 均值不等式取等：$r_1^2+r_2^2\ge 2r_1{r}_2$ 在 $r_1=r_2$ 时取等，对应等腰三角形，须指出取等条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于复数模与辐角的几何意义，以三角形面积为定值约束，考查重心复数表示与均值不等式，是复数与平面几何交汇的经典题型。

2. 结论推广：重心模长平方 $|Z{|}^2=\frac{1}{9}\left[r_1^2+r_2^2+2r_1{r}_2\cos 2\theta \right]$，其中 $r_1{r}_2$ 由面积定值唯一确定。

3. 方法推广：复数几何最值题，先写出重心（或中点）的复数表达式，再展开模长平方，结合面积/夹角定值用均值不等式求最值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数
• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 1986-全国文-18 解-复数的辐角与最值