1985-全国理-03 单-周期偶函数与单调性

本题导读

本题考查函数奇偶性、周期性与单调性的综合判定。

📌【题干】

Question

（1985年全国卷(理)） 在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 上的增函数，又是以 $\pi$ 为周期的偶函数 ()

A. $y=x^2(x\in \mathbf{R})$　　B. $y=|\sin x|(x\in \mathbf{R})$

C. $y=\cos 2x(x\in \mathbf{R})$　　D. $y={\mathrm{e}}^{\sin 2x}(x\in \mathbf{R})$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 依次用”以 $\pi$ 为周期""偶函数""在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 上递增”三个条件筛选。
2. $y=x^2$ 无周期，$y={\mathrm{e}}^{\sin 2x}$ 非奇非偶，先排除。
3. 在 $B$、$C$ 中比较 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 上的单调性。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B 【解析过程】 逐项分析： A 选项：$y=x^2$ 是偶函数，但无周期性，排除； D 选项：$y={\mathrm{e}}^{\sin 2x}$，因 $\sin 2x$ 为奇函数，${\mathrm{e}}^{\sin 2x}$ 非奇非偶，排除； C 选项：$y=\cos 2x$ 以 $\pi$ 为周期且为偶函数，但在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 上，$2x\in (0,\pi )$，余弦递减，故为减函数，排除； B 选项：$y=|\sin x|$，加绝对值后周期由 $2\pi$ 变为 $\pi$，且 $|\sin (-x)|=|\sin x|$ 为偶函数；在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 上 $\sin x>0$，故 $y=|\sin x|=\sin x$ 单调递增。满足全部条件。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 绝对值对周期的影响：$y=|\sin x|$ 将 $x$ 轴下方部分翻折到上方，周期由 $2\pi$ 减半为 $\pi$。
• 奇偶性与单调性的综合：先排除明显不合（无周期、非奇非偶）的选项，再对剩余选项逐一验证单调性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于教材三角函数图象与性质，考查周期、奇偶、单调的综合辨析，是函数性质讨论的经典题型。

2. 结论推广：$y=|\sin x|$、$y=|\cos x|$ 的周期均为 $\pi$，且都是偶函数。

3. 方法推广：函数性质综合辨析题，按”周期性 → 奇偶性 → 单调性”的顺序逐级过滤，可避免遗漏。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1998-上海文-12 单-周期与偶函数的判定
• 1986-全国文-04 单-二倍角与函数性质