1985-全国文-09 填-赋值法求系数和

本题导读

本题考查赋值法求展开式系数和。

📌【题干】

Question

（1985年全国卷(文)） 设 $(3x-1{)}^6=a_6{x}^6+a_5{x}^5+a_4{x}^4+a_3{x}^3+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$，求 $a_6+a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0$ 的值 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

令 $x=1$，右边即全部系数和。

✅【答案】

Success

$64$

✍【详细解析】

Abstract

在恒等式中令 $x=1$：左边 $=(3-1{)}^6=2^6=64$，右边即 $a_6+a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0$。故所求值为 $64$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：赋值法求系数和

核心方法：令 $x=1$，左边 $=(3-1{)}^6=2^6$。

避坑指南：系数和 $=64$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：1987 全国文第 11 题同考系数关系。

结论推广：系数和问题令 $x=1$（差值令 $x=-1$）。

方法推广：展开式系数问题优先想到赋值法而非展开。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-11 填-二项展开式系数的关系
• 1987-上海-02 填-二项式系数之和