1985-全国文-04 单-周期偶函数的判定

本题导读

本题考查函数奇偶性、周期性与单调性的综合判定。

📌【题干】

Question

（1985年全国卷(文)） 在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间 $(0,\frac{\pi }{2})$ 上的增函数又是以 $\pi$ 为周期的偶函数 ()

A. $y=x^2$（$x\in \mathbf{R}$）　B. $y=|\sin x|$（$x\in \mathbf{R}$）　C. $y=\cos 2x$（$x\in \mathbf{R}$）　D. $y={\mathrm{e}}^{\sin 2x}$（$x\in \mathbf{R}$）

🔍【思路分析】

破题导航

逐项验证：$x^2$ 非周期；$\cos 2x$ 在 $(0,\frac{\pi }{2})$ 递减；${\mathrm{e}}^{\sin 2x}$ 非偶。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

A：$y=x^2$ 不是周期函数。B：$|\sin x|$ 是偶函数，周期 $\pi$，在 $(0,\frac{\pi }{2})$ 上 $\sin x>0$ 且递增，故 $|\sin x|$ 递增——符合。C：$y=\cos 2x$ 偶函数且周期 $\pi$，但在 $(0,\frac{\pi }{2})$ 上递减。D：$y={\mathrm{e}}^{\sin 2x}$ 满足 $f(-x)={\mathrm{e}}^{-\sin 2x}=\frac{1}{f(x)}$，不是偶函数。故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：周期偶函数的判定

核心方法：$|\sin x|$ 偶函数且周期 $\pi$；$y=x^2$ 非周期。

避坑指南：$\sin (2x)$ 的周期是 $\pi$ 但 $y=\cos 2x$ 在 $(0,\frac{\pi }{2})$ 减，选 B。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：1998 上海卷第 12 题同考周期偶函数。

结论推广：$|\sin x|$ 与 $|\cos x|$ 都是周期 $\pi$ 的偶函数。

方法推广：判定”周期 + 奇偶 + 区间单调”三性叠加时逐条验证。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1998-上海文-12 单-周期与偶函数的判定
• 1986-全国文-04 单-二倍角与函数性质