1985-上海理-17 解-二项式定理与计数

本题导读

本题考查二项式展开、计数原理与无穷递缩等比数列求和。核心在于常数项、四位偶数计数与公比识别。

📌【题干】

Question

（1985年上海卷(理)） (1)求 ${\left(x^3-\frac{1}{x^2}\right)}^{15}$ 的展开式中的常数项.

(2)从六个数字 $1,2,3,4,5,6$ 中任取四个不同的数字，有多少种取法？由这六个数字可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？

(3)在一列球中，第 1 个球的半径为 1，第 2 个球的直径是第 1 个球的半径，以后每一个球的直径都是前一个球的半径，这样无限继续下去，求所有这些球的表面积的和.

🔍【思路分析】

破题导航

(1)通项令 $x$ 指数为零；(2)取法 $C_6^4$，偶数个位先定；(3)半径为等比数列。

✅【答案】

Success

(1) $-5005$

(2) 取法 $15$ 种，四位偶数 $180$ 个

(3) $\frac{16\pi }{3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)通项中若取 $k$ 个 $-\frac{1}{x^2}$，则该项为 $C_{15}^k(x^3{)}^{15-k}{\left(-\frac{1}{x^2}\right)}^k$，$x$ 指数为 $3(15-k)-2k=45-5k$。令 $45-5k=0$ 得 $k=9$，常数项为 $(-1{)}^9{C}_{15}^9=-C_{15}^6=-5005$。(2)任取四个不同数字，取法 $C_6^4=15$。四位偶数个位须从 $2,4,6$ 中选，有 3 种；个位确定后，千、百、十位从余下五个数字中依次排，共 $5\cdot 4\cdot 3$ 种。故四位偶数 $3\cdot 5\cdot 4\cdot 3=180$ 个。(3)设第 $n$ 个球半径为 $r_n$，则 $r_1=1$，$r_{n+1}=\frac{r_n}{2}$，故 $r_n=\frac{1}{2^{n-1}}$。表面积和 $S=4\pi {\sum }_{n=1}^{\infty }{r}_n^2=4\pi {\sum }_{n=1}^{\infty }{\left(\frac{1}{4}\right)}^{n-1}=\frac{4\pi }{1-\frac{1}{4}}=\frac{16\pi }{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式定理与计数

核心方法：通项求常数项 + 计数 + 无穷等比求和

避坑指南：(1) 令指数 $45-5k=0$；(2) 四位偶数 $3\cdot 5\cdot 4\cdot 3$；(3) 公比 $\frac{1}{4}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式定理与排列组合综合

结论推广：无穷递缩等比数列求和 $\frac{a_1}{1-q}$

方法推广：常数项令指数为零，偶数个位先定

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 1986-上海理-24 填-二项式一次项系数
• 1986-广东文-32 填-二项式常数项