1985-上海理-10 填-旋转体的体积

本题导读

本题考查平面图形绕轴旋转所得旋转体的体积。

📌【题干】

Question

（1985年上海卷(理)） 已知 $O$ 为直角坐标系的原点，点 $A$ 的坐标为 $(1,3)$，点 $B$ 的坐标为 $(0,3)$.若把 $△OAB$ 绕 $y$ 轴旋转一周，则所得旋转体的体积是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

绕 $y$ 轴旋转得底面半径 1、高 3 的圆锥。

✅【答案】

Success

$\pi$

✍【详细解析】

Abstract

$△OAB$ 的边 $OB$ 在旋转轴 $y$ 轴上，边 $AB$ 垂直于旋转轴，且 $AB=1$，$OB=3$。旋转后所得立体是底面半径为 1、高为 3 的圆锥，体积为 $\frac{1}{3}\pi \cdot 1^2\cdot 3=\pi$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：旋转体的体积

核心方法：绕 $y$ 轴旋转得圆锥

避坑指南：底面半径 $AB=1$、高 $OB=3$，体积 $\frac{1}{3}\pi \cdot 1^2\cdot 3=\pi$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：旋转体体积是立体几何常考

结论推广：平面图形绕轴旋转体积可用积分或几何体

方法推广：识别旋转后立体形状

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1986-上海理-26 填-圆锥侧面展开图
• 1986-全国文-13 填-旋转体的体积