1985-上海文-17 解-二项式定理与计数

本题导读

本题考查二项式展开、计数原理与无穷递缩等比数列求和。核心在于指定幂系数、个位限制计数与公比识别。

📌【题干】

Question

（1985年上海卷(文)） (1)求 $(2+x^2{)}^8$ 的展开式中 $x^{10}$ 的系数.

(2)从六个数字 $1,2,3,5,7,9$ 中任取四个不同的数字，有多少种取法？由这六个数字可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？

(3)在一列球中，第 1 个球的半径为 1，第 2 个球的直径是第 1 个球的半径，以后每一个球的直径都是前一个球的半径，这样无限继续下去，求所有这些球的表面积的和.

🔍【思路分析】

破题导航

(1)通项 $2k=10$ 得 $k=5$；(2)偶数只有 2，个位定死；(3)半径为等比数列。

✅【答案】

Success

(1) $448$

(2) 取法 $15$ 种，四位偶数 $60$ 个

(3) $\frac{16\pi }{3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)通项中选 $k$ 个 $x^2$，该项为 $C_8^k{2}^{8-k}{x}^{2k}$。要得 $x^{10}$ 须 $2k=10$，即 $k=5$，系数为 $C_8^5\cdot 2^{8-5}=56\times 8=448$。(2)任取四个不同数字，取法 $C_6^4=15$。六个数字中只有 2 是偶数，故四位偶数个位必须是 2；个位确定后千、百、十位从其余五个数字中取三个排列，共 $A_5^3=5\times 4\times 3=60$ 个。两问答案为 15 种和 60 个。(3)设第 $n$ 个球半径 $r_n$，则 $r_1=1$，$2r_n=r_{n-1}$，故 $r_n=\frac{1}{2^{n-1}}$，$S_n=4\pi r_n^2=4\pi (\frac{1}{4}{)}^{n-1}$。表面积和为首项 $4\pi$、公比 $\frac{1}{4}$ 的无穷等比数列之和，$S=\frac{4\pi }{1-\frac{1}{4}}=\frac{16\pi }{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式定理与计数

核心方法：通项求系数 + 计数 + 无穷等比求和

避坑指南：(1) $2k=10$ 得 $k=5$；(2) 偶数只有 2，个位定死；(3) 公比 $\frac{1}{4}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式与计数综合

结论推广：无穷等比求和 $\frac{a_1}{1-q}$

方法推广：常数项令指数为零，个位先定

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 1986-上海理-24 填-二项式一次项系数
• 1985-上海理-17 解-二项式定理与计数