1984-全国卷理-17 解-椭圆的准线定义与轨迹方程

本题导读

本题考查椭圆的准线定义与轨迹方程的求法（原题补录）。

📌【题干】

Question

（1984年全国卷(理)） 求经过定点 $M(1,2)$，以 $y$ 轴为准线，离心率为 $\frac{1}{2}$ 的椭圆的左顶点的轨迹方程.

🔍【思路分析】

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设左顶点 $A(x,y)$；以 $y$ 轴为左准线，利用定义建立方程。

✅【答案】

Success

$(3x-2{)}^2+4(y-2{)}^2=1(x>0)$

✍【详细解析】

Abstract

设椭圆左顶点为 $A(x,y)$，离心率 $e=\frac{1}{2}$，以 $y$ 轴 $x=0$ 为准线。若 $y$ 轴为左准线，设中心横坐标为 $h$、半长轴 $a$、半焦距 $c$，则 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，左准线 $x=h-\frac{a^2}{c}=h-2a=0\Rightarrow h=2a$，故左顶点 $A$ 的横坐标 $x=a$，左焦点 $F(2a-\frac{a}{2},y)=(\frac{3a}{2},y)$。点 $M(1,2)$ 在椭圆上且到准线 $x=0$ 距离为 $1$，由定义 $|MF|=e\cdot 1=\frac{1}{2}$，即 $(1-\frac{3a}{2}{)}^2+(2-y{)}^2=\frac{1}{4}$。以 $a=x$ 代入得 $(1-\frac{3x}{2}{)}^2+(2-y{)}^2=\frac{1}{4}$，整理得 $(3x-2{)}^2+4(y-2{)}^2=1$。因椭圆在准线右侧，左顶点横坐标 $x>0$（实际 $x\in [\frac{1}{3},1]$），故轨迹为该椭圆在 $x>0$ 的部分。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的准线定义与轨迹方程

核心方法：准线定义建系

避坑指南：以 y 轴为左准线，由定义 |MF|=e·d 建立轨迹方程

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆准线与轨迹

结论推广：e=½，准线 x=0 对应左/右准线

方法推广：焦点—准线定义建系

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-广东卷文-20 解-椭圆轨迹
• 2011-大纲卷文-22 解-椭圆与四点共圆