1984-全国卷理-09 解-完全平方公式与二项式定理

本题导读

本题考查完全平方公式与二项式定理。

📌【题干】

Question

（1984年全国卷(理)） 求 ${\left(|x|+\frac{1}{|x|}-2\right)}^3$ 的展开式中的常数项.

🔍【思路分析】

破题导航

先把底数化为 $(\sqrt{|x|}-\frac{1}{\sqrt{|x|}}{)}^2$，原式变为 $(\sqrt{|x|}-\frac{1}{\sqrt{|x|}}{)}^6$，再令通项指数为 $0$。

✅【答案】

Success

$-20$

✍【详细解析】

Abstract

$|x|+\frac{1}{|x|}-2=(\sqrt{|x|}-\frac{1}{\sqrt{|x|}}{)}^2$，故原式 $=(\sqrt{|x|}-\frac{1}{\sqrt{|x|}}{)}^6$。通项 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_6^r(\sqrt{|x|}{)}^{6-r}(-\frac{1}{\sqrt{|x|}}{)}^r={\mathrm{C}}_6^r(-1{)}^r|x{|}^{3-r}$。令 $3-r=0\Rightarrow r=3$，常数项 $={\mathrm{C}}_6^3(-1{)}^3=-20$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：完全平方公式与二项式定理

核心方法：完全平方配凑

避坑指南：底数化为 (√|x|-1/√|x|)²，降为 6 次方再令指数为 0

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式特定项

结论推广：通项公式定 r

方法推广：指数合并与符号分离

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2007-大纲卷II理-13 填-二项展开式通项公式常数项
• 2010-湖北卷理-11 填-二项式定理