1984-全国卷理-07 解-复合函数单调性与定义域

本题导读

本题考查复合函数的单调性与定义域优先原则。

📌【题干】

Question

（1984年全国卷(理)） 函数 ${\log }_{0.5}(x^2+4x+4)$ 在什么区间上是增函数？

🔍【思路分析】

破题导航

先求定义域 $x\ne -2$；外层递减，内层 $u=(x+2{)}^2$ 在 $(-\infty ,-2)$ 递减 $\Rightarrow$ 复合递增。

✅【答案】

Success

$(-\infty ,-2)$

✍【详细解析】

Abstract

真数 $x^2+4x+4=(x+2{)}^2>0\Rightarrow$ 定义域 $D=\{x\mid x\ne -2\}$。令 $u=(x+2{)}^2$，则 $f={\log }_{0.5}u$。外层 $y={\log }_{0.5}u$ 递减，由“同增异减”知 $f$ 递增当且仅当 $u$ 递减。$u=(x+2{)}^2$ 在 $(-\infty ,-2)$ 上递减、在 $(-2,+\infty )$ 上递增；与定义域取交得 $f$ 的增区间为 $(-\infty ,-2)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复合函数单调性与定义域

核心方法：定义域优先与同增异减

避坑指南：先求定义域 x≠-2；外层递减故内层递减时复合递增

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复合函数单调性

结论推广：同增异减；定义域优先

方法推广：分层判定单调性

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1987-全国卷理-05 单-函数的单调性
• 2012-北京卷(理)-18 解-单调性