1984-全国卷理-06 解-圆柱侧面展开与分类讨论

本题导读

本题考查圆柱侧面展开图与分类讨论。

📌【题干】

Question

（1984年全国卷(理)） 已知圆柱的侧面展开图是边长为 $2$ 与 $4$ 的矩形，求圆柱的体积.

🔍【思路分析】

破题导航

矩形一边为高、另一边为底面周长，两种对应情形。

✅【答案】

Success

$\frac{4}{\pi }$ 或 $\frac{8}{\pi }$

✍【详细解析】

Abstract

设底面半径为 $r$，高为 $h$。情形一：$h=2$，$2\pi r=4\Rightarrow r=\frac{2}{\pi }$，$V=\pi r^{2}h=\pi \cdot \frac{4}{{\pi }^2}\cdot 2=\frac{8}{\pi }$。情形二：$h=4$，$2\pi r=2\Rightarrow r=\frac{1}{\pi }$，$V=\pi \cdot \frac{1}{{\pi }^2}\cdot 4=\frac{4}{\pi }$。故体积为 $\frac{4}{\pi }$ 或 $\frac{8}{\pi }$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆柱侧面展开与分类讨论

核心方法：分类讨论

避坑指南：矩形边长谁作高、谁作底面周长须分类，体积两解

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：旋转体展开与体积

结论推广：矩形边长与高、底面周长双向对应

方法推广：分类讨论思想

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2018-全国卷I理-07 单-圆柱侧面展开
• 1987-上海-05 填-组合体的体积