1984-全国文-09 填-数列极限

本题导读

本题考查和式数列极限的求解。

📌【题干】

Question

（1984年全国卷(文)） 求 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(n^2+1)+(n^2+2)+\cdots +(n^2+n)}{n(n-1)(n-2)}$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

分子 $=n^3+\frac{n(n+1)}{2}$，分母展开后同除 $n^3$。

✅【答案】

Success

$1$

✍【详细解析】

Abstract

分子 $=n\cdot n^2+(1+2+\cdots +n)=n^3+\frac{n(n+1)}{2}$，分母 $=n(n-1)(n-2)=n^3-3n^2+2n$。故原式 $={\lim }_{n\to \infty }\frac{n^3+\frac{n(n+1)}{2}}{n^3-3n^2+2n}={\lim }_{n\to \infty }\frac{1+\frac{n+1}{2n^2}}{1-\frac{3}{n}+\frac{2}{n^2}}=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列极限

核心方法：先求和再约分取极限

避坑指南：分子 $=n^3+\frac{n(n+1)}{2}$，同除 $n^3$ 取极限

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：和式极限的求解

结论推广：先求有限和再取极限

方法推广：分子分母同次幂比较

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 1986-全国文-14 填-数列的极限
• 1985-广东文-07 填-等差数列求和与数列极限