1983-全国理-09 解-复数的模与幅角

本题导读

本题考查复数模与幅角主值的范围估计，核心是 $|\cos t|+|\sin t|$ 的上界与幅角条件。

📌【题干】

Question

（1983年全国卷(理)） (1) 证明：对于任意实数 $t$，复数 $z=\sqrt{|\cos t|}+\sqrt{|\sin t|}\mathrm{i}$ 的模 $r=|z|$ 适合 $r\le \sqrt[4]{2}$.

(2) 当实数 $t$ 取什么值时，复数 $z=\sqrt{|\cos t|}+\sqrt{|\sin t|}\mathrm{i}$ 的幅角主值 $\theta$ 适合 $0\le \theta \le \frac{\pi }{4}$？

🔍【思路分析】

破题导航

(1) 用 $|z{|}^2=|\cos t|+|\sin t|$ 配合均值不等式；(2) 幅角条件化为 $|\sin t|\le |\cos t|$。

✅【答案】

Success

(1) 已证 $r\le \sqrt[4]{2}$ (2) $k\pi -\frac{\pi }{4}\le t\le k\pi +\frac{\pi }{4}(k\in \mathbf{Z})$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $r^2=|z{|}^2=|\cos t|+|\sin t|$。由均值不等式，$|\cos t|+|\sin t|\le \sqrt{2(|\cos t{|}^2+|\sin t{|}^2)}=\sqrt{2}$，故 $r\le \sqrt[4]{2}$。(2) 幅角主值 $\theta \in [0,\frac{\pi }{4}]$ 等价于 $0\le \tan \theta \le 1$ 且实部、虚部均非负。由 $z$ 的实部 $\sqrt{|\cos t|}\ge 0$、虚部 $\sqrt{|\sin t|}\ge 0$ 知 $\theta \in [0,\frac{\pi }{2}]$ 恒成立；$\tan \theta =\sqrt{\frac{|\sin t|}{|\cos t|}}\le 1$ 等价于 $|\sin t|\le |\cos t|$，即 $|t-k\pi |\le \frac{\pi }{4}$，故 $k\pi -\frac{\pi }{4}\le t\le k\pi +\frac{\pi }{4}(k\in \mathbf{Z})$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的模与幅角

核心方法：均值不等式与分类讨论

避坑指南：|cos|+|sin|≤√2；幅角主值范围转化为 |sin t|≤|cos t|

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数模长与幅角

结论推广：|z| 与 arg z 的范围

方法推广：模长不等式与幅角主值约束

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2020-新课标II理-15 填-复数模
• 2012-重庆卷(理)-11 填-复数运算