1982-全国理-04 解-圆锥内接圆柱的体积最值

本题导读

本题考查旋转体内接圆柱体积的最值，利用轴截面相似把半径表成高的函数，再求导。

📌【题干】

Question

（1982年全国卷(理)） 已知圆锥体的底面半径为 $R$，高为 $H$，求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱体的高 $h$（如图）.

🔍【思路分析】

破题导航

设内接圆柱半径为 $r$、高为 $h$，由轴截面相似 $\frac{r}{R}=\frac{H-h}{H}$，体积 $V=\pi r^{2}h$，对 $h$ 求导令其为 0。

✅【答案】

Success

$h=\frac{H}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

设内接圆柱底面半径为 $r$、高为 $h$。过轴的截面中，由相似三角形得 $\frac{r}{R}=\frac{H-h}{H}$，即 $r=\frac{R}{H}(H-h)$。 体积 $V(h)=\pi r^{2}h=\frac{\pi R^2}{H^2}(H-h{)}^{2}h$。 令 $V^{\prime }=\frac{\pi R^2}{H^2}(2(H-h)(-1)h+(H-h{)}^2)=\frac{\pi R^2}{H^2}(H-h)(H-3h)=0$， 由 $0<h<H$ 得 $H-3h=0$，即 $h=\frac{H}{3}$；此时 $V$ 取最大值。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆锥内接圆柱的体积最值

核心方法：轴截面相似与导数求最值

避坑指南：由相似 $\frac{r}{R}=\frac{H-h}{H}$，体积 $V=\pi r^{2}h$ 对 $h$ 求导取极值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：旋转体中的最值问题

结论推广：圆锥内接圆柱体积最大在 $h=\frac{H}{3}$

方法推广：轴截面相似 + 导数

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 1977-西藏-06 解-矩形面积最值
• 1960-全国-02 解-圆柱内接长方体