1982-全国理-02 解-二项式展开与复合函数求导

本题导读

本题考查二项式展开的特定项与复合函数求导，两问相互独立，分别用通项公式与链式法则。

📌【题干】

Question

（1982年全国卷(理)） (1) 求 $(-1+\mathrm{i}{)}^{20}$ 展开式中第 $15$ 项的数值.

(2) 求 $y={\cos }^2\frac{x}{3}$ 的导数.

🔍【思路分析】

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(1) 用二项式通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_{20}^k(-1{)}^{20-k}{\mathrm{i}}^k$ 取 $k=14$。(2) 对 ${\cos }^2\frac{x}{3}$ 用外层平方、内层 $\frac{x}{3}$ 的链式法则。

✅【答案】

Success

(1) $-38760$ (2) $-\frac{1}{3}\sin \frac{2x}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_{20}^k(-1{)}^{20-k}{\mathrm{i}}^k$，第 $15$ 项对应 $k=14$： $T_{15}={\mathrm{C}}_{20}^{14}(-1{)}^6{\mathrm{i}}^{14}={\mathrm{C}}_{20}^6\cdot 1\cdot ({\mathrm{i}}^2{)}^7=38760\cdot (-1)=-38760$。 (2) $y={\cos }^2\frac{x}{3}$，由链式法则 $y^{\prime }=2\cos \frac{x}{3}\cdot \left(-\sin \frac{x}{3}\right)\cdot \frac{1}{3}=-\frac{2}{3}\cos \frac{x}{3}\sin \frac{x}{3}=-\frac{1}{3}\sin \frac{2x}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式展开与复合函数求导

核心方法：通项公式与乘积求导法则

避坑指南：$T_{k+1}={\mathrm{C}}_{20}^k(-1{)}^{20-k}{\mathrm{i}}^k$；复合求导 $y={\cos }^2\frac{x}{3}$ 先对外层平方再乘内层 $\frac{1}{3}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式定理与复合函数求导

结论推广：二项式特定项与主项求导

方法推广：通项公式定 $k$；链式法则

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 20.02 基本初等函数导数公式与运算法则

类题演练 (Links)

• 1982-全国文-02 解-二项式展开式的特定项
• 2004-全国卷I理-19 解-导数的四则运算法则