1980-全国文-07 解-长方形框架中的垂直与距离

本题导读

本题考查长方形框架中的垂直关系与空间距离。核心在于建系用向量垂直定垂足。

📌【题干】

Question

（1980年全国卷(文)） 如图，长方形框架 $ABCD\text{-}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ 三边 $AB$、$AD$、$A{A}^{\prime }$ 的长分别为 $6$、$8$、$3.6$，$AE$ 与底面的对角线 $B^{\prime }{D}^{\prime }$ 垂直相交于 $E$

(1)证明 $A^{\prime }E\perp B^{\prime }{D}^{\prime }$；

(2)求 $AE$ 的长

🔍【思路分析】

破题导航

建系 $A^{\prime }(0,0,0)$、$B^{\prime }(6,0,0)$、$D^{\prime }(0,8,0)$、$A(0,0,3.6)$，由 $AE\perp B^{\prime }{D}^{\prime }$ 定 $E$，再求 $AE$。

✅【答案】

Success

(1)证明见解析；(2)$AE=6$

✍【详细解析】

Abstract

(1)建立空间直角坐标系，使 $A^{\prime }(0,0,0)$、$B^{\prime }(6,0,0)$、$D^{\prime }(0,8,0)$、$A(0,0,3.6)$。设 $E$ 把线段 $B^{\prime }{D}^{\prime }$ 按参数 $\lambda$ 表示为 $E(6-6\lambda ,8\lambda ,0)$，其中 $0\le \lambda \le 1$。则 $\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=(-6,8,0)$，$\overrightarrow{AE}=(6-6\lambda ,8\lambda ,-3.6)$。由 $AE\perp B^{\prime }{D}^{\prime }$，得 $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=(6-6\lambda )(-6)+8\lambda \cdot 8=100\lambda -36=0$，故 $\lambda =\frac{9}{25}$。于是 $\overrightarrow{A^{\prime }E}=\left(\frac{96}{25},\frac{72}{25},0\right)$，从而 $\overrightarrow{A^{\prime }E}\cdot \overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=\frac{96}{25}(-6)+\frac{72}{25}\cdot 8=0$，所以 $A^{\prime }E\perp B^{\prime }{D}^{\prime }$。 (2)由 $\lambda =\frac{9}{25}$ 得 $E\left(\frac{96}{25},\frac{72}{25},0\right)$。故 $A{E}^2={\left(\frac{96}{25}\right)}^2+{\left(\frac{72}{25}\right)}^2+{\left(\frac{90}{25}\right)}^2=\frac{9216+5184+8100}{625}=\frac{22500}{625}=36$，所以 $AE=6$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：长方形框架中的垂直与距离

核心方法：建系与向量垂直

避坑指南：设 $A^{\prime }(0,0,0)$ 建系，$AE\perp B^{\prime }{D}^{\prime }$ 定 $E$，勾股求 $AE$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：空间垂直与距离

结论推广：建系求空间距离

方法推广：坐标法与勾股定理

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2005-上海卷文-17 解-长方体异面直线角
• 1992-全国文-18 单-长方体的对角线