1980-全国文-06 解-四边形对角线的面积性质

本题导读

本题考查四边形对角线面积平分的性质及其逆命题。核心在于等底等高与等积转化。

📌【题干】

Question

（1980年全国卷(文)） (1)若四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 将四边形分成面积相等的两个三角形，证明：直线 $AC$ 必平分对角线 $BD$；

(2)写出第(1)小题的逆命题，这个逆命题是否正确？为什么？

🔍【思路分析】

破题导航

(1)面积相等得 $B$、$D$ 到 $AC$ 距离相等，结合 $B,O,D$ 共线证 $OB=OD$。

✅【答案】

Success

(1)证明见解析；(2)逆命题正确（证明见解析）

✍【详细解析】

Abstract

(1)设对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于 $O$。由题意 $S_{△ABC}=S_{△ACD}$，且两三角形以 $AC$ 为公共底边，故点 $B$、$D$ 到直线 $AC$ 的距离相等。因 $O$ 在直线 $AC$ 上，点 $B$、$D$ 到直线 $AO$ 的距离也相等，从而 $S_{△AOB}=S_{△AOD}$。又 $B,O,D$ 三点共线，$\angle AOB$ 与 $\angle AOD$ 互为补角，其正弦相等。于是 $\frac{1}{2}AO\cdot OB\cdot \sin \angle AOB=\frac{1}{2}AO\cdot OD\cdot \sin \angle AOD$，故 $OB=OD$，即 $O$ 是 $BD$ 的中点，直线 $AC$ 平分对角线 $BD$。 (2)逆命题为：若四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 平分对角线 $BD$，则 $AC$ 将四边形分成面积相等的两个三角形。这个逆命题正确。事实上，设 $O$ 为两条对角线的交点，由 $OB=OD$ 及 $\angle AOB$ 与 $\angle AOD$ 互为补角，得 $S_{△AOB}=S_{△AOD}$；同理 $S_{△BOC}=S_{△DOC}$。因此 $S_{△ABC}=S_{△AOB}+S_{△BOC}=S_{△AOD}+S_{△DOC}=S_{△ACD}$，所以 $AC$ 将四边形分成面积相等的两个三角形。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：四边形对角线的面积性质

核心方法：等底等高与逆命题

避坑指南：面积相等则点到 $AC$ 距离相等，进而 $OB=OD$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：四边形对角线的性质

结论推广：对角线平分面积与平分线段的互逆

方法推广：等积法

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2005-天津卷文-12 填-平行四边形对角线长
• 1992-全国文-18 单-长方体的对角线