1980-全国文-05 解-含根号的三角式化简

本题导读

本题考查含根号的三角式化简。核心在于诱导公式与根号内凑完全平方。

📌【题干】

Question

（1980年全国卷(文)） 设 $\frac{3\pi }{4}<\theta <\frac{5\pi }{4}$，化简：$\frac{\sqrt{\cos \frac{\pi }{4}\sin \left(\frac{3\pi }{4}-\theta \right)\left[\sin (\pi -\theta )-\sin \left(\theta -\frac{\pi }{2}\right)\right]}}{\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)}$

🔍【思路分析】

破题导航

$\sin (\frac{3\pi }{4}-\theta )=\sin (\frac{\pi }{4}+\theta )$，$\sin (\pi -\theta )-\sin (\theta -\frac{\pi }{2})=\sin \theta +\cos \theta$，根号内为 $\frac{1}{2}(\sin \theta +\cos \theta {)}^2$。

✅【答案】

Success

$-1$

✍【详细解析】

Abstract

因 $\sin (\pi -\theta )=\sin \theta$，$\sin (\theta -\frac{\pi }{2})=-\cos \theta$，故 $\sin (\pi -\theta )-\sin (\theta -\frac{\pi }{2})=\sin \theta +\cos \theta$。又 $\sin (\frac{3\pi }{4}-\theta )=\sin [\pi -(\frac{\pi }{4}+\theta )]=\sin (\frac{\pi }{4}+\theta )=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin \theta +\cos \theta )$。于是根号内的式子为 $\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin \theta +\cos \theta {)}^2=\frac{1}{2}(\sin \theta +\cos \theta {)}^2$。 由 $\frac{3\pi }{4}<\theta <\frac{5\pi }{4}$ 得 $\pi <\theta +\frac{\pi }{4}<\frac{3\pi }{2}$，故 $\sin (\theta +\frac{\pi }{4})<0$，即 $\sin \theta +\cos \theta <0$。因此分子 $\sqrt{\frac{1}{2}(\sin \theta +\cos \theta {)}^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}|\sin \theta +\cos \theta |=-\frac{\sin \theta +\cos \theta }{\sqrt{2}}$，而分母 $\sin (\theta +\frac{\pi }{4})=\frac{\sin \theta +\cos \theta }{\sqrt{2}}$。所以原式 $=-1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：含根号的三角式化简

核心方法：诱导公式与符号判断

避坑指南：$\sin (3\pi /4-\theta )=\sin (\pi /4+\theta )$，由 $\theta$ 范围定符号

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角式的化简

结论推广：诱导公式与根号内完全平方

方法推广：诱导公式与符号

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1984-全国文-15 解-三角函数的积的形式
• 1985-上海理-09 填-同角三角函数关系