1980-全国理-10 解-直线与椭圆的参数方程

本题导读

本题为附加题，考查直线参数方程与椭圆参数方程的消参，以及“对任意参数恒成立”的充要条件转化为二次函数非负。

📌【题干】

Question

（1980年全国卷(理)） 10. （附加题）设直线 $l$ 的参数方程是 $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=b+mt\end{array}$（$t$ 是参数），椭圆 $E$ 的参数方程是 $\{\begin{array}{l}x=1+a\cos \theta \\ y=\sin \theta \end{array}$（$a\ne 0$，$\theta$ 是参数），问 $a,b$ 应满足什么条件，使得对于任意 $m$ 值来说，直线 $l$ 与椭圆 $E$ 总有公共点.

🔍【思路分析】

破题导航

消参得直线 $y=mx+b$、椭圆 $\frac{(x-1{)}^2}{a^2}+y^2=1$；代入后关于 $x$ 的二次方程判别式非负对任意 $m$ 成立，化为关于 $m$ 的二次式恒非负，分类讨论 $a^2-1$ 的符号。

✅【答案】

Success

$|a|\ge 1$ 且 $-\frac{\sqrt{a^2-1}}{|a|}\le b\le \frac{\sqrt{a^2-1}}{|a|}$

✍【详细解析】

Abstract

消去参数，直线为 $y=mx+b$，椭圆为 $\frac{(x-1{)}^2}{a^2}+y^2=1$。将直线方程代入椭圆方程并乘以 $a^2$，得关于 $x$ 的方程 $(1+a^2{m}^2)x^2+2(a^{2}mb-1)x+1+a^2{b}^2-a^2=0$。 因为二次项系数 $1+a^2{m}^2>0$，直线与椭圆有公共点的充要条件是判别式非负。将判别式除以正数 $4a^2$，化简为 $(a^2-1)m^2-2bm+1-b^2\ge 0$。 因此题目的条件等价于这个关于 $m$ 的二次式对任意实数 $m$ 都非负。 若 $a^2-1<0$，二次式在 $|m|$ 足够大时为负，不可能。若 $a^2-1=0$，要使一次式对任意 $m$ 非负，必须有 $b=0$，这正好满足后面的统一条件。若 $a^2-1>0$，二次式对任意 $m$ 非负，当且仅当其判别式不大于零，即 $4b^2-4(a^2-1)(1-b^2)\le 0$。化简得 $a^2{b}^2\le a^2-1$，即 $b^2\le \frac{a^2-1}{a^2}$。 合并三种情况，所求充要条件为 $|a|\ge 1$，且 $-\frac{\sqrt{a^2-1}}{|a|}\le b\le \frac{\sqrt{a^2-1}}{|a|}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与椭圆的参数方程

核心方法：消参与恒成立

避坑指南：消参后判别式非负对任意 $m$ 成立，化为关于 $m$ 的二次式恒非负

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线与椭圆的参数方程

结论推广：参数方程化为普通方程

方法推广：判别式法处理恒成立

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 27.02 参数方程

类题演练 (Links)

• 1965-全国-05 解-直线与椭圆交点
• 1977-广东-07 解-椭圆定义轨迹