1980-全国理-03 解-三角形三高线共点

本题导读

本题考查用解析几何方法证明三角形三条高线交于一点，关键在合理建系。

📌【题干】

Question

（1980年全国卷(理)） 3. 用解析几何方法证明：三角形的三条高线交于一点.

🔍【思路分析】

破题导航

取最长边 $BC$ 为 $x$ 轴、过 $A$ 的高为 $y$ 轴建系，写出过 $B,C$ 的高线方程，联立得交点在 $y$ 轴上，即过 $A$ 的高线上。

✅【答案】

Success

三条高线交于一点（垂心），证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

设三角形为 $△ABC$。取最长边 $BC$ 所在直线为 $x$ 轴，取过 $A$ 且垂直于 $BC$ 的高所在直线为 $y$ 轴。设 $A=(0,a)$，$B=(b,0)$，$C=(c,0)$。由于 $BC$ 是最长边，点 $A$ 的高足在边 $BC$ 的内部，故可取 $a>0$，$b<0<c$。 直线 $AB$ 的方程为 $\frac{x}{b}+\frac{y}{a}=1$，斜率为 $-\frac{a}{b}$，所以过 $C$ 的高线方程为 $y=\frac{b}{a}(x-c)$。同理，直线 $AC$ 的斜率为 $-\frac{a}{c}$，所以过 $B$ 的高线方程为 $y=\frac{c}{a}(x-b)$。 设这两条高线的交点为 $D$。联立两式，得 $b(x-c)=c(x-b)$，即 $(b-c)x=0$。因为 $b\ne c$，所以 $x=0$。这说明 $D$ 在 $y$ 轴上，而 $y$ 轴就是过 $A$ 的高线。因此三条高线交于同一点。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角形三高线共点

核心方法：建系证三线共点

避坑指南：取最长边为 $x$ 轴、过 $A$ 高为 $y$ 轴，联立两高线方程得交点在 $y$ 轴

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角形垂心

结论推广：三高线交于一点的解析法证明

方法推广：合理建系与联立方程

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.07 三角形五心与奔驰定理

类题演练 (Links)

• 1953-全国-13 解-垂心与四点共圆证角平分
• 2002-北京卷文-21 解-三角形重心外心垂心