1979-全国文-07 解-圆的内接矩形与切线

本题导读

本题考查圆内接矩形与切线性质的综合。核心在于相似三角形与切割线定理。

📌【题干】

Question

（1979年全国卷(文)） 设 $CEDF$ 是一个已知圆的内接矩形，过 $D$ 作该圆的切线与 $CE$ 的延长线相交于点 $A$，与 $CF$ 的延长线相交于点 $B$求证：$\frac{BF}{AE}=\frac{B{C}^3}{A{C}^3}$

🔍【思路分析】

破题导航

由矩形对角线是直径、切线垂直半径，构造直角三角形，用相似和切割线定理。

✅【答案】

Success

证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

连接 $C$、$D$。因为 $\angle CFD=90^{\circ }$，由圆周角定理的逆定理，$CD$ 是该圆的直径。切线在切点 $D$ 处垂直于半径，故 $CD\perp AB$。又 $A$、$C$、$E$ 共线，$B$、$C$、$F$ 共线，且矩形邻边 $CE\perp CF$，所以 $\angle ACB=90^{\circ }$。在直角三角形 $ABC$ 中，$CD$ 是斜边 $AB$ 上的高，由相似三角形 $△ACD\sim △ABC$、$△BCD\sim △BAC$，得 $A{C}^2=AD\cdot AB$、$B{C}^2=BD\cdot BA$，故 $\frac{BD}{AD}=\frac{B{C}^2}{A{C}^2}$。由切线与割线定理，从点 $A$ 引出的切线和割线给出 $A{D}^2=AE\cdot AC$；从点 $B$ 引出的给出 $B{D}^2=BF\cdot BC$。所以 $\frac{BF}{AE}=\frac{B{D}^2/BC}{A{D}^2/AC}={\left(\frac{BD}{AD}\right)}^2\cdot \frac{AC}{BC}={\left(\frac{B{C}^2}{A{C}^2}\right)}^2\cdot \frac{AC}{BC}=\frac{B{C}^3}{A{C}^3}$。命题得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的内接矩形与切线

核心方法：相似与切割线定理

避坑指南：矩形对角线是直径，切线垂直半径，再用切割线定理

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：切割线定理

结论推广：切线长平方等于割线段乘积

方法推广：圆幂定理是切线与割线的桥梁

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷理-15 填-圆周角定理与直径性质
• 2007-新课标Ⅰ文-22 解-四点共圆与圆周角定理