1979-全国文-04 解-勾股定理

本题导读

本题考查勾股定理的叙述与证明。核心在于作斜边上的高构造相似三角形。

📌【题干】

Question

（1979年全国卷(文)） 叙述并证明勾股定理

🔍【思路分析】

破题导航

作斜边上的高，用两次相似三角形对应边成比例。

✅【答案】

Success

证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

勾股定理：在直角三角形 $ABC$ 中，若 $\angle C=90^{\circ }$，则斜边的平方等于两条直角边的平方和，即 $A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2$。 证明：过直角顶点 $C$ 作 $CD\perp AB$，垂足为 $D$。因为 $\angle ADC=\angle ACB=90^{\circ }$，且 $\angle CAD=\angle CAB$，所以 $△ACD\sim △ABC$，得 $\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，即 $A{C}^2=AB\cdot AD$。同理，$△BCD\sim △ABC$，得 $B{C}^2=AB\cdot BD$。两式相加，并利用 $AD+BD=AB$，得 $A{C}^2+B{C}^2=AB(AD+BD)=A{B}^2$。定理得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：勾股定理

核心方法：相似三角形

避坑指南：作斜边上的高，两次相似对应边成比例

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：勾股定理证明

结论推广：相似三角形法是最经典的证明

方法推广：斜边高分解为相似三角形

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2003-大纲文-15 填-勾股定理空间类比
• 2010-广东卷文-14 填-中位线与勾股