1979-全国理-04 解-勾股定理

本题导读

本题考查勾股定理的叙述与证明，用斜边上的高构造相似三角形完成证明。

📌【题干】

Question

（1979年全国卷(理)） 4. 叙述并证明勾股定理.

🔍【思路分析】

破题导航

叙述：直角三角形两直角边平方和等于斜边平方。证明：作斜边高 $CH$，由 $△ACH\sim △ABC$ 与 $△BCH\sim △ABC$ 得 $A{C}^2=AB\cdot AH,B{C}^2=AB\cdot BH$，相加得 $a^2+b^2=c^2$。

✅【答案】

Success

直角三角形两直角边平方和等于斜边平方；证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

勾股定理叙述如下：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 设 $△ABC$ 为直角三角形，且 $\angle C=90^{\circ }$。记 $BC=a,CA=b,AB=c$。 从点 $C$ 向斜边 $AB$ 作垂线，垂足为 $H$。则 $△ACH\sim △ABC$，相似三角形对应边成比例，故 $\frac{AC}{AB}=\frac{AH}{AC}$，即 $A{C}^2=AB\cdot AH$。同理，$△BCH\sim △BAC$，从而 $\frac{BC}{AB}=\frac{BH}{BC}$，即 $B{C}^2=AB\cdot BH$。 两式相加，并利用 $AH+BH=AB$，得到 $a^2+b^2=B{C}^2+C{A}^2=AB\cdot BH+AB\cdot AH=AB(AH+BH)=A{B}^2=c^2$。 所以直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：勾股定理

核心方法：作斜边高，由双相似得 $A{C}^2=AB\cdot AH,B{C}^2=AB\cdot BH$ 相加

避坑指南：斜边上的高构造是证明勾股定理的标准手法

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：勾股定理

结论推广：勾股定理是解三角形的基础

方法推广：构造斜边上的高用相似证明

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.03 解三角形与解的个数判定

类题演练 (Links)

• 1958-黑吉辽-05 解-线性方程组与勾股定参
• 1955-全国-05 解-等差边周长面积定直角