1979-全国理-01 解-等差中项判定

本题导读

本题考查由代数条件判定三数成等差数列，关键是将已知等式配方成完全平方。

📌【题干】

Question

（1979年全国卷(理)）

1. 若 $(z-x{)}^2-4(x-y)(y-z)=0$，求证：$x,y,z$ 成等差数列.

🔍【思路分析】

破题导航

令 $a=x-y,b=y-z$，则 $z-x=-(a+b)$，原式化为 $(a+b{)}^2-4ab=(a-b{)}^2=0$，故 $a=b$ 即 $x-y=y-z$。

✅【答案】

Success

由 $((x-y)-(y-z){)}^2=0$ 得 $x-y=y-z$，即 $x,y,z$ 成等差数列

✍【详细解析】

Abstract

因为 $z-x=-((x-y)+(y-z))$，所以已知等式可化为 $((x-y)+(y-z){)}^2-4(x-y)(y-z)=0$。 展开并配方得 $((x-y)-(y-z){)}^2=0$。 因此 $x-y=y-z$，即 $x,y,z$ 成等差数列。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差中项判定

核心方法：令 $a=x-y,b=y-z$，原式化为 $(a+b{)}^2-4ab=(a-b{)}^2=0$

避坑指南：注意配方后得 $x-y=y-z$，即 $2y=x+z$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差数列的判定

结论推广：条件可推广到任意满足 $(a+b{)}^2=4ab$ 的三数

方法推广：配方法与代数恒等变形

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 1958-安徽-03 解-等差等比中项证倍角关系
• 1977-北京文-09 解-等差与等比中项