1978-全国卷-06 解-三角恒等变换

本题导读

本题是三角恒等证明题，已知关于 $\alpha ,\beta$ 的两个三角方程，需消元后证明 $\alpha +2\beta =\frac{\pi }{2}$。

📌【题干】

Question

（1978年全国卷） 6. 已知 $\alpha ,\beta$ 为锐角，$3{\sin }^2\alpha +2{\sin }^2\beta =1$，$3\sin 2\alpha -2\sin 2\beta =0$. 求证：$\alpha +2\beta =\frac{\pi }{2}$.

🔍【思路分析】

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由第一式得 $3{\sin }^2\alpha =\cos 2\beta$，由第二式得 $3\sin \alpha \cos \alpha =\sin 2\beta$。两式平方相加消去 $\beta$ 得 $9{\sin }^2\alpha =1$，从而 $\sin \alpha =\frac{1}{3}$，再算 $\cos (\alpha +2\beta )=0$ 得证。

✅【答案】

Success

证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

由 $3{\sin }^2\alpha +2{\sin }^2\beta =1$ 得 $3{\sin }^2\alpha =1-2{\sin }^2\beta =\cos 2\beta$。 ① 由 $3\sin 2\alpha -2\sin 2\beta =0$ 得 $3\sin \alpha \cos \alpha =\sin 2\beta$。 ② ①${}^2+$②${}^2$ 得 $9{\sin }^4\alpha +9{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha ={\cos }^{2}2\beta +{\sin }^{2}2\beta =1$， 即 $9{\sin }^2\alpha ({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha )=1$，所以 ${\sin }^2\alpha =\frac{1}{9}$。因为 $\alpha$ 为锐角，$\sin \alpha =\frac{1}{3}$，$\cos \alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3}$。 由②得 $\sin 2\beta =3\sin \alpha \cos \alpha =3\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。由①得 $\cos 2\beta =3{\sin }^2\alpha =\frac{1}{3}$。 所以 $\cos (\alpha +2\beta )=\cos \alpha \cos 2\beta -\sin \alpha \sin 2\beta =\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot \frac{1}{3}-\frac{1}{3}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}=0$。 因为 $\alpha ,\beta$ 为锐角，$0<\alpha +2\beta <\frac{3\pi }{2}$，在此范围内余弦为 $0$ 的角只有 $\frac{\pi }{2}$，故 $\alpha +2\beta =\frac{\pi }{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角恒等变换

核心方法：由已知两式消去 ${\sin }^2\alpha ,{\sin }^2\beta$，推出 $\cos (\alpha +2\beta )=0$

避坑指南：注意 $\alpha ,\beta$ 为锐角，保证 $\alpha +2\beta$ 在 $(0,\frac{3\pi }{2})$ 内

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角恒等变换

结论推广：已知三角条件证明角的和差关系

方法推广：消元后求余弦值

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1952-全国-13 填-已知正弦求二倍角余弦
• 1953-全国-06 解-二倍角余弦求通解
• 1977-上海文-04 解-三角计算与正弦定理