1978-全国卷-02 解-二次曲线分类讨论

本题导读

本题考查含参二次方程 $k{x}^2+y^2=4$ 所表示图形的分类，需对 $k$ 的正负及特殊值作完整讨论。

📌【题干】

Question

（1978年全国卷） 2. 已知方程 $k{x}^2+y^2=4$，其中 $k$ 为实数. 对于不同范围的 $k$ 值，分别指出方程所代表图形的类型，并画出显示其数量特征的草图.

🔍【思路分析】

破题导航

将方程化为 $\frac{x^2}{4/k}+\frac{y^2}{4}=1$（$k\ne 0$），按 $k<0$、$k=0$、$0<k<1$、$k=1$、$k>1$ 五种情形分别判断图形并给出数量特征。

✅【答案】

Success

当 $k<0$ 时为焦点在 $y$ 轴上的双曲线；$k=0$ 时为两条平行直线 $y=\pm 2$；$0<k<1$ 时为焦点在 $x$ 轴上的椭圆；$k=1$ 时为半径 $2$ 的圆；$k>1$ 时为焦点在 $y$ 轴上的椭圆

✍【详细解析】

Abstract

当 $k\ne 0$ 时，方程可化为 $\frac{x^2}{4/k}+\frac{y^2}{4}=1$。 (1) 若 $k>1$，则 $\frac{4}{k}<4$，方程表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆，半长轴为 $2$，半短轴为 $\frac{2}{\sqrt{k}}$。 (2) 若 $k=1$，方程为 $x^2+y^2=4$，表示半径为 $2$ 的圆。 (3) 若 $0<k<1$，则 $\frac{4}{k}>4$，方程表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆，半长轴为 $\frac{2}{\sqrt{k}}$，半短轴为 $2$。 (4) 若 $k=0$，方程化为 $y^2=4$，即 $y=2$ 与 $y=-2$，表示两条平行于 $x$ 轴的直线。 (5) 若 $k<0$，令 $k=-|k|$，方程化为 $\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{4/|k|}=1$，表示焦点在 $y$ 轴上的双曲线，实半轴为 $2$，虚半轴为 $\frac{2}{\sqrt{|k|}}$，渐近线为 $y=\pm \sqrt{|k|}x$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二次曲线分类讨论

核心方法：将方程化为标准二次曲线形式，按 $k$ 的符号与是否等于 $1$ 分类讨论

避坑指南：不要漏掉 $k=0$ 退化为平行直线、$k=1$ 为圆两个临界情形

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二次曲线分类

结论推广：含参二次方程 $A{x}^2+B{y}^2=C$ 的图形随系数变化

方法推广：归一化标准形后按符号分类

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 1952-全国-24 解-由两点求椭圆长短线与焦点
• 1954-全国-02 解-二次函数图象定范围
• 1980-全国理-10 解-直线与椭圆的参数方程