本题导读
本题考查等差数列的性质。
📌【题干】
Question
（1977年黑龙江卷(理)） 已知三角形的三边成等差数列，周长为 ，面积为 ，求三边的长.
🔍【思路分析】
破题导航
三边成等差数列，若设为 ，周长代入较繁。用对称设元：设三边为 、、（公差 ）。
由周长求中间项：，三边变为 、、。
已知三边求面积，用海伦公式 ，其中 。
代入 ，得到关于 的方程，解出 ，即可得三边。
✅【答案】
Success
✍【详细解析】
Abstract
- 第一步：对称设元，利用周长求中间项 设该三角形的三边长由小到大依次为：
由周长为 ：
合并同类项，消去 ：
所以三边可表示为 、、。
- 第二步：求半周长，代入海伦公式 半周长 为：
由海伦公式：
把 及三边 代入：
第三步：列方程求公差 代入 ：
根号内常数乘积 ，其余用平方差公式 ：
两边平方：
两边除以 108：
移项得： 因为 ，所以：
- 第四步：代回求三边 将 代回：
- 第一条边：
- 第二条边：
- 第三条边：
(经检验： ，满足两边之和大于第三边。)
所以，该三角形三边的长分别为：
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：等差数列对称设元、海伦公式、无理方程的整式化化简。
- 核心方法：对称设元法、海伦公式法。
- 避坑指南：
易错点（常规设元计算量大）：若设三边为 ，代入海伦公式后根号内会出现关于 、 的复杂交叉项，计算量大。奇数项成等差数列时，优先采用关于中心对称的设元。
漏写单位：已知条件带单位 和 ，答案也应写长度单位 。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源: 本题为数列与解三角形结合的综合题，用海伦公式求面积。海伦公式由古希腊数学家海伦给出，中国宋代秦九韶《数书九章》中的“三斜求积术”与此等价。
结论推广: 三边成等差数列的三角形，可设三边为 。由周长 得 再由海伦公式列方程，可解出公差 。本题 ，得 ，代入海伦公式解得 ，故三边为 。
🔗【关联脉络】
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