1977-青海-02 解-直径切线证等边

本题导读

本题考查圆的性质。核心在于直径所对圆周角 90°、切线垂直半径，两次证等腰得等边。

📌【题干】

Question

（1977年青海卷） 如图，$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，$AC$ 是 $\odot O$ 的切线，连接 $BC$ 与 $\odot O$ 相交于 $D$ 点，而且 $\angle ABC=45^{\circ }$.求证 $BD=DC$.

🔍【思路分析】

破题导航

连 AD，∠ADB=90°、∠BAD=45° 得 BD=AD；AC 切线得 ∠BAC=90°，∠DAC=∠C=45° 得 DC=AD。

✅【答案】

Success

$BD=DC$（证明见解析）

✍【详细解析】

Abstract

连接 $AD$。因为 $AB$ 是直径，所以 $\angle ADB=90^{\circ }$。又 $\angle ABC=45^{\circ }$，所以 $\angle BAD=90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }$，故 $BD=AD$。因为 $AC$ 是切线，所以 $\angle BAC=90^{\circ }$，故 $\angle DAC=90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }$。而 $\angle C=90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }$，所以 $DC=AD$。从而 $BD=DC$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直径切线证等边

核心方法：直径圆周角 90° + 切线垂直半径 + 等角证等边

避坑指南：∠ADB=90°、∠BAD=45° 得 BD=AD；∠DAC=∠C=45° 得 DC=AD，故 BD=DC。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于圆的性质，考查直径、切线与圆周角的综合。

结论推广：直径所对圆周角为直角、切线垂直于过切点半径是圆的常用性质。

方法推广：两次证等腰（BD=AD、DC=AD）是破题关键。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.07 圆幂定理

类题演练 (Links)

• 1977-吉林-11 解-圆的切线
• 1977-广东-06 解-双切线等长证明