1977-重庆-09 解-方程图形三例

本题导读

本题考查方程与图形。核心在于乘积为零分因式、平方和为零必同为零、平方差分解为两直线。

📌【题干】

Question

（1977年重庆卷） 分别在三个平面直角坐标上作出下列方程的图形.(1)$(x+2)(y-1)=0$；(2)$(x+2{)}^2+(y-1{)}^2=0$；(3)$(x+2{)}^2-(y-1{)}^2=0$.

🔍【思路分析】

破题导航

(1)$x+2=0$ 或 $y-1=0$ 两条直线；(2)平方和为零必须同时为零，一个点；(3)平方差分解 $(x-y+3)(x+y+1)=0$ 两条相交直线。

✅【答案】

Success

(1)两条直线 $x=-2$，$y=1$(2)一个点 $(-2,1)$(3)两条直线 $x-y+3=0$ 和 $x+y+1=0$

✍【详细解析】

Abstract

(1)$(x+2)(y-1)=0$。两个因式相乘等于零，必定有一个因式是零。因此 $x+2=0$ 或 $y-1=0$。故此方程的图象为两条直线：$x=-2$，$y=1$（见图1）。(2)$(x+2{)}^2+(y-1{)}^2=0$。因为平方数不可能小于零，要使它们的和为零，必须 $x+2=0$ 且 $y-1=0$，即 $x=-2$，$y=1$。故此方程的图象是一个点 $(-2,1)$（见图2）。(3)$(x+2{)}^2-(y-1{)}^2=0$。分解因式得 $(x+2-y+1)(x+2+y-1)=0$，即 $(x-y+3)(x+y+1)=0$。则 $x-y+3=0$ 或者 $x+y+1=0$。故此方程的图象是两条相交直线（见图3）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：方程图形三例

核心方法：因式定图形

避坑指南：乘积为零分因式；平方和为零必同为零；平方差分解

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：曲线与方程

结论推广：两直线/一个点/两条相交直线

方法推广：三种零结构对应三种图形

🔗【关联脉络】

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