1977-西藏-05 解-三角恒等式证明

本题导读

本题考查三角恒等式证明。核心在于两式展开后合并，用 ${\cos }^2+{\sin }^2=1$ 与和角余弦。

📌【题干】

Question

（1977年西藏卷） 证明恒等式：$(\cos \alpha -\cos \beta {)}^2+(\sin \alpha -\sin \beta {)}^2=2-2\cos (\alpha -\beta )$.

🔍【思路分析】

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左式展开得 $({\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha )+({\cos }^2\beta +{\sin }^2\beta )-2(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta )$。

✅【答案】

Success

恒等式成立（证明见解析）

✍【详细解析】

Abstract

左边 $={\cos }^2\alpha -2\cos \alpha \cos \beta +{\cos }^2\beta +{\sin }^2\alpha -2\sin \alpha \sin \beta +{\sin }^2\beta =({\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha )+({\cos }^2\beta +{\sin }^2\beta )-2(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta )=2-2\cos (\alpha -\beta )$。故等式成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角恒等式证明

核心方法：两式分别展开，用 cos²+sin²=1 与和角余弦公式合并

避坑指南：(cosα-cosβ)²+(sinα-sinβ)²=2-2(cosαcosβ+sinαsinβ)=2-2cos(α-β)。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于三角恒等式证明，考查平方展开与和角余弦。

结论推广：“展开+合并+用基本恒等式”是三角恒等式证明的通法。

方法推广：关键恒等式 cos²x+sin²x=1 与 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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