1977-福建卷-09 解-定积分的线性性质

本题导读

本题考查定积分的线性性质。

📌【题干】

Question

（1977年北京卷(理)） 附加题 9. 求定积分: ${\int }_0^1\left(x{e}^{x^2}+x^2{e}^2\right)\text{d}x$.

🔍【思路分析】

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1. 拆分多项式（线性性质）：根据定积分的加法线性性质 $\int (f(x)+g(x))\text{d}x=\int f(x)\text{d}x+\int g(x)\text{d}x$，将算式拆分为两个独立的定积分分别求解。

2. 第一项求解（凑微分法）：对于 $\int x{e}^{x^2}\text{d}x$，由于含有复合函数 $e^{x^2}$ 且外界含有自变量的一次方 $x$，而 $\text{d}(x^2)=2x\text{d}x$，因此可以通过乘以和除以 2 凑出 $\frac{1}{2}{e}^{x^2}\text{d}(x^2)$，从而直接写出原函数。

3. 第二项求解（常数识别）：对于 $\int x^2{e}^2\text{d}x$，由于 $e^2$ 是一个纯常数，可以利用常数倍性质提出来，直接对幂函数 $x^2$ 应用标准原函数公式 $\int x^2\text{d}x=\frac{1}{3}{x}^3$ 进行求解。

4. 代入上下限（牛顿-莱布尼茨公式）：分别代入上限 1 和下限 0 进行减法运算。

✅【答案】

Success

$\text{原式}=\frac{2e^2+3e-3}{6}$

✍【详细解析】

Abstract

利用定积分的线性基本性质，将原积分式拆分为两项： ${\int }_0^1\left(x{e}^{x^2}+x^2{e}^2\right)\text{d}x={\int }_0^{1}x{e}^{x^2}\text{d}x+{\int }_0^1{x}^2{e}^2\text{d}x$

分别计算这两个定积分：

• ① 计算第一项 ${\int }_0^{1}x{e}^{x^2}\text{d}x$ 运用第一类换元积分法（凑微分法），因为 $\text{d}(x^2)=2x\text{d}x⟹x\text{d}x=\frac{1}{2}\text{d}(x^2)$，代入得： ${\int }_0^{1}x{e}^{x^2}\text{d}x={\int }_0^1{e}^{x^2}\cdot \left[\frac{1}{2}\text{d}(x^2)\right]=\frac{1}{2}{\int }_0^1{e}^{x^2}\text{d}(x^2)$ 因为 $\int e^u\text{d}u=e^u$，所以其原函数为 $\frac{1}{2}{e}^{x^2}$。 根据牛顿-莱布尼茨公式代入数值： ${\left[\frac{1}{2}{e}^{x^2}\right]}_0^1=\frac{1}{2}\left(e^{1^2}-e^{0^2}\right)=\frac{1}{2}(e-1)$

• ② 计算第二项 ${\int }_0^1{x}^2{e}^2\text{d}x$ 因为 $e^2$ 是与自变量 $x$ 无关的常数，可直接提到积分号外部： ${\int }_0^1{x}^2{e}^2\text{d}x=e^2{\int }_0^1{x}^2\text{d}x$ 根据幂函数的原函数公式 $\int x^n\text{d}x=\frac{1}{n+1}{x}^{n+1}$，可得其原函数： $e^2{\left[\frac{1}{3}{x}^3\right]}_0^1=e^2\left(\frac{1}{3}\times 1^3-\frac{1}{3}\times 0^3\right)=\frac{1}{3}{e}^2$

• ③ 综合两项求和 $\text{原式}=\frac{1}{2}(e-1)+\frac{1}{3}{e}^2=\frac{1}{3}{e}^2+\frac{1}{2}e-\frac{1}{2}$

合并同分母项（通分），可得最终最简代数式： $\text{原式}=\frac{2e^2+3e-3}{6}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：凑微分换元思想、定积分的牛顿-莱布尼茨公式边界处理。
2. 核心方法：一阶凑微分法、常数剥离法。
3. 避坑指南：

• 最易错点一（常数混淆）：极其容易把第二项的 $e^2$ 误当成复合函数对待，错误地去凑微分或者用分部积分法。必须看清 $e^2$ 是一个纯数值常数（约等于 7.389），处理时直接视为常数系数提出来即可。

• 最易错点二（下限代入归零陷阱）：在计算第一项代入下限 0 时，很多同学粗心认为“只要自变量代入 0 结果就必然是 0”，从而算成 $\frac{1}{2}(e-0)=\frac{1}{2}e$。注意： $e^0=1$ 绝非零值！ 这种惯性思维在指数函数或余弦函数的定积分里是极高发的扣分点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于高等数学（微积分）中关于不定积分与定积分计算的基本经典习题。它是考查非初等复杂多项式向标准基本初等积分公式平稳退化的标志性训练题。
2. 结论推广: 本题模型属于标准的正态分布变体型指数积分与幂函数混合模型。 可以一般化推广为：对于任意形式的定积分 $I={\int }_0^k\left(x{e}^{a{x}^2}+\lambda x^2\right)\text{d}x(a\ne 0)$，其原函数群的几何拓扑结构在本质上完全相同。其积分输出通用通项恒满足： $I=\frac{e^{a{k}^2}-1}{2a}+\frac{\lambda k^3}{3}$ 在本题中， $k=1,a=1,\lambda =e^2$。代入推广公式： $I=\frac{e^1-1}{2}+\frac{e^2\times 1^3}{3}=\frac{e-1}{2}+\frac{e^2}{3}$ 这与上述严密推导出的结果完全一致。在高等数学和概率论中，熟练使用这种凑微分法来处理形如 $\int x{e}^{-x^2}\text{d}x$ 的积分，是求正态分布期望与方差时不可或缺的核心计算工具。

🔗【关联脉络】

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• 20.20 定积分与微积分基本定理

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